Question

помогите решить lim х стремяшиеся к бесконечности (1+1/3х)^х

Answer 1

$\lim_{x \to \infty} (1+\frac{1}{3x})^x=\{\frac{1}{3x}=\frac{1}{a}, a=3x, x=\frac{1}{3}a, x \to \infty, a \to \infty \} = \\ \lim_{x \to \infty} (1+\frac{1}{a})^{\frac{1}{3}a}=\lim_{x \to \infty} ((1+\frac{1}{a})^a)^{\frac{1}{3}}= \\ (\lim_{x \to \infty} (1+\frac{1}{a})^a)^{\frac{1}{3}}=e^{\frac{1}{3}}$

Answer 2

Это второй замечательный предел:

Нужно только сделать некоторые преобразования:

Сделаем замену t=3x

Поскольку $x->\infty$ то и $3x ->\infty$

Перепишем наш предел с учетом этой замены:

$\lim_{t \to \infty} (1+\frac{1}{t})^{\frac{t}{3}}= \\ =\lim_{t \to \infty} ((1+\frac{1}{t})^{t})^{\frac{1}{3}}$ 

Поскольку известно что:

$\lim_{t \to \infty} (1+\frac{1}{t})^{t}=e$ 

то

 $\lim_{t \to \infty} ((1+\frac{1}{t})^{t})^{\frac{1}{3}}=e^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{e}$

 

 Ответ: $\lim_{x \to \infty} (1+\frac{1}{3x})^x=\sqrt[3]{e}$

Answer 3

Конечно, я могу помочь вам с этим математическим вопросом. Давайте посмотрим на предел lim (x -> ∞) ((1 + 1/(3x))^x) пошагово.

Подстановка бесконечности

Когда мы рассматриваем предел при x, стремящемся к бесконечности, мы можем сначала попробовать подставить бесконечность вместо x и упростить выражение.

lim (x -> ∞) ((1 + 1/(3x))^x) = (1 + 1/(3∞))^∞ = (1 + 0)^∞ = 1^∞

Форма неопределенности

Выражение 1^∞ представляет собой форму неопределенности, поскольку мы не можем однозначно определить значение этого выражения. Для решения этой неопределенности, мы можем воспользоваться правилом Лопиталя или преобразовать выражение.

Преобразование выражения

Чтобы преобразовать выражение 1^∞, мы можем воспользоваться свойством экспоненты, которое гласит, что a^b = e^(b*ln(a)), где e - основание натурального логарифма.

Таким образом, мы можем переписать наше выражение в виде:

lim (x -> ∞) ((1 + 1/(3x))^x) = lim (x -> ∞) (e^(x*ln(1 + 1/(3x))))

Использование предела натурального логарифма

Теперь мы можем воспользоваться свойствами пределов и заменить x*ln(1 + 1/(3x)) на предел этого выражения при x, стремящемся к бесконечности.

lim (x -> ∞) (x*ln(1 + 1/(3x))) = lim (x -> ∞) ((ln(1 + 1/(3x)))/(1/x))

Применение правила Лопиталя

Для нахождения этого предела мы можем воспользоваться правилом Лопиталя, которое позволяет нам брать производные и находить пределы отношений функций.

Производная ln(1 + 1/(3x)) равна (1/(1 + 1/(3x)))*(-1/(3x^2)), а производная (1/x) равна -1/x^2. Таким образом, мы можем продифференцировать числитель и знаменатель и получить:

lim (x -> ∞) ((ln(1 + 1/(3x)))/(1/x)) = lim (x -> ∞) (((1/(1 + 1/(3x)))*(-1/(3x^2)))/(-1/x^2)) = lim (x -> ∞) ((-x/(1 + 1/(3x)))*(1/3)) = -1/3

Результат

Таким образом, предел lim (x -> ∞) ((1 + 1/(3x))^x) равен e^(-1/3) при x, стремящемся к бесконечности.

Если у вас есть еще вопросы или вам нужна дополнительная помощь, пожалуйста, не стесняйтесь спрашивать!