Question

При якому значенні а пряма х=а ділить площу фігури, обмеженої графіком функції f(x)=\frac{4}{x} і прямими у=0, х=4, х=9, навпіл?

Answer 1

Вычислим площадь заданной  фигуры:

$S=\int _4^9\frac{4}{x}dx=4ln|x||_4^9=4(ln9-ln4)$

Теперь выберем какую-то точку х=а между 4 и 9 такую,
чтобы площадь фигуры, ограниченной гиперболой y=4/x,
прямыми х=4 и х=а, равнялась половине площади заданной фигуры.  
Вычислим её площадь: 

$S^{*}=\int _4^{a}\frac{4}{x}dx=4ln|x||_4^{a}=4(lna-ln4)$

$S=2S^{*}\; \; \Rightarrow \; \; 4(ln9-ln4)=2\cdot 4(lna-ln4)\\\\ln9-ln4=2lna-2ln4\\\\2lna=ln9-ln4+2ln4\\\\2lna=ln9+ln4\\\\lna=\frac{1}{2}(ln9+ln4)=\frac{1}{2}(2ln3+2ln2)=ln3+ln2=ln(3\cdot 2)=ln6\\\\a=6$

Answer 2

Для розв'язання цього завдання, спочатку потрібно знайти точки перетину графіку функції f(x) = 4/x з прямими у = 0, х = 4 та х = 9. Потім обчислити площу фігури, обмеженої графіком функції f(x), прямою х = а та прямими х = 4 та х = 9.

Спочатку знайдемо точки перетину графіку функції f(x) = 4/x з прямими у = 0, х = 4 та х = 9.

Для знаходження точок перетину з прямою у = 0, потрібно прирівняти функцію f(x) до нуля:

0 = 4/x

Розв'язавши це рівняння, отримаємо:

x = 0

Таким чином, графік функції f(x) перетинає пряму у = 0 в точці (0, 0).

Далі, для знаходження точок перетину з прямою х = 4, прирівняємо x до 4:

x = 4

Графік функції f(x) перетинає пряму х = 4 в точці (4, 1).

Аналогічно, для знаходження точок перетину з прямою х = 9, прирівняємо x до 9:

x = 9

Графік функції f(x) перетинає пряму х = 9 в точці (9, 4/9).

Тепер, коли ми знайшли точки перетину, ми можемо обчислити площу фігури, обмеженої графіком функції f(x), прямою х = а та прямими х = 4 та х = 9.

Оскільки фігура симетрична відносно прямої х = а, то ми можемо обчислити площу фігури від х = 4 до х = а і потім подвоїти отриману площу.

Площа фігури від х = 4 до х = а обчислюється як різниця між інтегралами функції f(x) від х = 4 до х = а та від х = 4 до х = 9:

S = 2 * ∫[4, a] f(x) dx

= 2 * ∫[4, a] (4/x) dx

= 2 * [4 * ln(x)] [4, a]

= 8 * ln(a/4)

Таким чином, площа фігури, обмеженої графіком функції f(x), прямою х = а та прямими х = 4 та х = 9, ділиться на пів площі загальної фігури, обмеженої прямими х = 4 та х = 9, при значенні а, яке задовольняє рівняння:

8 * ln(a/4) = (1/2) * (8 * ln(9/4))

ln(a/4) = ln(9/4)/2

a/4 = sqrt(9/4)

a = 3

Отже, при значенні а = 3, пряма х = а ділить площу фігури, обмеженої графіком функції f(x) = 4/x та прямими у = 0, х = 4, х = 9, навпіл.