Question

Докажите ,что значение выражения: а) 5*7^12-5 кратно30 б) 7*3^11+7 кратно 28

Answer 1

A) = 5*(7^12 - 1)=5*(7^6-1)(7^6+1)=5(7^2-1)(7^4+7^2+1)(7^2+1)(7^4-7^2+1)=5*48*50*(7^4-7^2+1)(7^4+7^2+1)=5*6*8*50(49^2-49+1)(49^2+49+1)
b) 

Answer 2

Давайте рассмотрим оба выражения по отдельности и докажем, что оба они делятся на 30 и 28 соответственно.

a) Выражение: 5 * 7^12 - 5

Для доказательства, что это выражение делится на 30, нам необходимо показать, что оно равно 0 по модулю 30. Другими словами, мы должны показать, что остаток от деления этого выражения на 30 равен 0.

Давайте посчитаем значение этого выражения и проверим, что остаток от деления равен 0:

5 * 7^12 - 5 = 5 * (7 * 7 * 7 * 7 * 7 * 7 * 7 * 7 * 7 * 7 * 7 * 7) - 5

Теперь, чтобы упростить вычисления, давайте рассмотрим остатки от деления каждого из множителей на 30:

7^12 % 30 = (7^2 % 30)^6 % 30 = (49 % 30)^6 % 30 = 19^6 % 30 = (19^2 % 30)^3 % 30 = (361 % 30)^3 % 30 = 1^3 % 30 = 1

Теперь мы можем заменить 7^12 в нашем исходном выражении на 1:

5 * 1 - 5 = 0

Как мы видим, остаток от деления равен 0, что означает, что выражение 5 * 7^12 - 5 кратно 30.

b) Выражение: 7 * 3^11 + 7

Аналогично, для доказательства, что это выражение делится на 28, нам необходимо показать, что остаток от деления этого выражения на 28 равен 0.

Давайте посчитаем значение этого выражения и проверим, что остаток от деления равен 0:

7 * 3^11 + 7 = 7 * (3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3) + 7

Теперь, чтобы упростить вычисления, давайте рассмотрим остатки от деления каждого из множителей на 28:

3^11 % 28 = (3^2 % 28) * (3^2 % 28) * (3^2 % 28) * (3^2 % 28) * (3^2 % 28) * (3^2 % 28) * (3 % 28) % 28 = (9 % 28) * (9 % 28) * (9 % 28) * (9 % 28) * (9 % 28) * (9 % 28) * 3 % 28 = 1 * 1 * 1 * 1 * 1 * 1 * 3 % 28 = 3

Теперь мы можем заменить 3^11 в нашем исходном выражении на 3:

7 * 3 + 7 = 28

Как мы видим, остаток от деления равен 0, что означает, что выражение 7 * 3^11 + 7 кратно 28.

Таким образом, мы доказали, что оба выражения a) 5 * 7^12 - 5 и b) 7 * 3^11 + 7 кратны 30 и 28 соответственно.