Question

Желательно подробнее объяснить под буквой "б") а) решить уравнение (6sin^3x-sin^2x-sinx)/√tgx=0 б) найти корни, принадлежащие отрезку [-π;π/2]

Answer 1

A) (6sin^3-sin^2x-sinx)/√tgx=0
ОДЗ:
tgx>0, т.к. знаменатель не равен 0, а подкоренное выражение должно быть больше или равно нуля, следовательно, общее решение будет tgx>0
x>Πk, k€Z
Решение:
6sin^3-sin^2x-sinx=0
Пусть t=sinx, где t€[-1;1], тогда
6t^3-t^2-t=0
t(6t^2-t-1)=0
Решим распадающиеся уравнение:
1) t=0
2) 6t^2-t-1=0
D=1+24=25
t1=1-5/12=-1/3
t2=1+5/12=1/2
Вернёмся к замене:
1) sinx=0 x=Πn, n€Z - посторонний корень, т.к. tgx>0
2) sinx=-1/3
x=(-1)^m arcsin(-1/3)+Πm, m€Z
3) sinx=1/2
x1=Π/6+2Πr, r€Z
x2=5Π/6+2Πr, r€Z
Ответ: (-1)^m arcsin(-1/3)+Πm, m€Z; Π/6+2Πr, 5Π/6+2Πr, r€Z

Answer 2

Чтобы решить уравнение (6sin^3x-sin^2x-sinx)/√tgx=0 и найти корни, принадлежащие отрезку [-π;π/2], давайте разберемся по шагам.

Шаг 1: Упрощение уравнения Для начала, давайте упростим уравнение. Заметим, что у нас есть несколько сложных функций, таких как sin^3x, sin^2x и √tgx. Чтобы упростить выражение, воспользуемся тригонометрическими тождествами.

Используя идентичность sin^2x = 1 - cos^2x, мы можем переписать уравнение следующим образом: (6sin^3x - (1 - cos^2x)sinx) / √tgx = 0

Шаг 2: Решение уравнения Теперь решим уравнение. Для этого приравняем числитель к нулю: 6sin^3x - (1 - cos^2x)sinx = 0

Разложим это уравнение на множители: sinx(6sin^2x - (1 - cos^2x)) = 0

Теперь рассмотрим два случая:

Случай 1: sinx = 0 Если sinx = 0, то у нас есть одно решение уравнения. Используя отрезок [-π;π/2], мы видим, что sinx = 0 на отрезке [-π;0] и на отрезке [0;π/2]. Таким образом, x = 0 является одним из решений.

Случай 2: 6sin^2x - (1 - cos^2x) = 0 Для решения этого уравнения, давайте раскроем скобки: 6sin^2x - 1 + cos^2x = 0

Объединим sin^2x и cos^2x с помощью тригонометрической идентичности sin^2x + cos^2x = 1: 6sin^2x + cos^2x - 1 = 0

Теперь заменим cos^2x на (1 - sin^2x): 6sin^2x + (1 - sin^2x) - 1 = 0

Упростим: 5sin^2x = 0

Таким образом, у нас получается одно решение sinx = 0 из случая 1 и одно решение sinx = 0 из случая 2.

Шаг 3: Проверка корней Теперь, когда у нас есть два решения sinx = 0, давайте проверим, принадлежат ли они отрезку [-π;π/2].

Первое решение sinx = 0, x = 0, принадлежит отрезку [-π;π/2].

Второе решение sinx = 0, x = π, не принадлежит отрезку [-π;π/2].

Таким образом, корень уравнения, принадлежащий отрезку [-π;π/2], это x = 0.

Ответ: Уравнение (6sin^3x - sin^2x - sinx) / √tgx = 0 имеет одно решение x = 0, которое принадлежит отрезку [-π;π/2].