Question

Докажите тождество (cos^2 A ) / (tg A/2 - ctg A/2) = (-1/4 sin2A)

Answer 1

Cos²a/(tga/2-ctga/2)=-1/4*sin2a
1)tga/2-ctga/2=(sina/2*sina/2-cosa/2*cossa/2)/
(sina/2*cosa/2)=(sina/2)²-(cosa/2)²/1/2(2sina/2*cosa/2=-cosa/1/2*sina=-2cosa/sina
2)cos²a:(-2cosa/sina)=-1/2sina*cosa=
-1/4(2sina*cosa)=-1/4*sin2a

Answer 2

Давайте рассмотрим данное тождество и попробуем доказать его.

Тождество, которое нужно доказать, выглядит следующим образом:

(cos^2(A)) / (tg(A/2) + ctg(A/2)) = (-1/4 + sin(2A))

Для начала, давайте приведем обе части тождества к общему знаменателю. Знаменатель в левой части - это сумма тангенса и котангенса, поэтому мы можем записать это как:

(cos^2(A)) / (tg(A/2) + ctg(A/2)) = (cos^2(A)) / ((sin(A/2)/cos(A/2)) + (cos(A/2)/sin(A/2)))

Теперь, чтобы объединить дроби в знаменателе, мы можем умножить первую дробь на (sin(A/2)/sin(A/2)) и вторую дробь на (cos(A/2)/cos(A/2)). Получим:

(cos^2(A)) / (tg(A/2) + ctg(A/2)) = (cos^2(A) * sin(A/2) + cos^2(A) * cos(A/2)) / (sin(A/2) * cos(A/2) + cos(A/2) * sin(A/2))

Упрощая числитель и знаменатель, получим:

(cos^2(A)) / (tg(A/2) + ctg(A/2)) = cos^2(A) * (sin(A/2) + cos(A/2)) / (2 * sin(A/2) * cos(A/2))

Теперь, заметим, что sin(A/2) + cos(A/2) может быть переписано с использованием формулы синуса двойного угла:

sin(A/2) + cos(A/2) = sqrt(2) * sin(A/2 + pi/4)

Таким образом, мы можем переписать наше тождество как:

(cos^2(A)) / (tg(A/2) + ctg(A/2)) = (cos^2(A) * sqrt(2) * sin(A/2 + pi/4)) / (2 * sin(A/2) * cos(A/2))

Теперь давайте рассмотрим правую часть тождества. Правая часть - это (-1/4 + sin(2A)). Мы можем переписать sin(2A) с использованием формулы синуса двойного угла:

sin(2A) = 2 * sin(A) * cos(A)

Таким образом, правая часть тождества может быть записана как:

(-1/4 + sin(2A)) = (-1/4 + 2 * sin(A) * cos(A))

Теперь, чтобы продолжить доказательство, нам нужно показать, что левая и правая части тождества равны друг другу. Для этого мы можем сократить общие множители и проверить, что остатки совпадают.

Разделим наши выражения на cos^2(A):

((cos^2(A)) / (tg(A/2) + ctg(A/2))) / cos^2(A) =