Question

Дан треугольник с вершинами A (-2,0), B (0,6), C (4,2).. Найти: (а) уравнение стороны АС; (б) уравнение высоты АК; (в) длину средней линии MP(параллельно стороне BC); (г) угол ^ ; (д) точку пересечения высот треугольника.

Answer 1

Дан треугольник с вершинами A (-2,0), B (0,6), C (4,2).. Найти:
(а) уравнение стороны АС;
(б) уравнение высоты АК;
(в) длину средней линии MP(параллельно стороне BC);
(г) угол ^ ;
(д) точку пересечения высот треугольника.

решение на фото

Answer 2

(а) Уравнение стороны АС:

Для нахождения уравнения стороны АС, мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками в декартовой системе координат.

Расстояние между двумя точками (x₁, y₁) и (x₂, y₂) можно найти с помощью формулы:

d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)

Для стороны AC, точки A(-2, 0) и C(4, 2), поэтому:

x₁ = -2, y₁ = 0 x₂ = 4, y₂ = 2

Подставляя значения в формулу, получаем:

d = √((4 - (-2))² + (2 - 0)²) = √((6)² + (2)²) = √(36 + 4) = √40 = 2√10

Таким образом, уравнение стороны AC равно 2√10.

(б) Уравнение высоты АК:

Чтобы найти уравнение высоты АК, мы должны найти уравнение прямой, проходящей через точку K(0, 0) и перпендикулярной стороне AC.

Сначала найдем уравнение стороны AC, используя точки A(-2, 0) и C(4, 2). Мы уже вычислили его в предыдущем пункте и получили 2√10.

Так как высота перпендикулярна стороне AC, ее угловой коэффициент будет противоположным и обратным к угловому коэффициенту стороны AC.

Угловой коэффициент стороны AC равен (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) = (2 - 0) / (4 - (-2)) = 2 / 6 = 1/3.

Угловой коэффициент перпендикулярной прямой будет -3/1 = -3.

Теперь у нас есть уравнение высоты AK, проходящей через точку K(0, 0) и имеющей угловой коэффициент -3. Используя уравнение прямой вида y = mx + b, где m - угловой коэффициент, а b - y-пересечение, мы можем найти уравнение высоты AK.

Уравнение высоты AK: y = -3x

(в) Длина средней линии MP (параллельно стороне BC):

Чтобы найти длину средней линии MP, мы должны найти середину стороны BC, а затем использовать формулу расстояния между двумя точками.

Для нахождения середины стороны BC, мы можем использовать среднюю точку формулы:

xₘ = (x₁ + x₂) / 2 yₘ = (y₁ + y₂) / 2

Где (x₁, y₁) и (x₂, y₂) - координаты точек B(0, 6) и C(4, 2) соответственно.

Подставляя значения, получаем:

xₘ = (0 + 4) / 2 = 2 yₘ = (6 + 2) / 2 = 4

Таким образом, середина стороны BC имеет координаты M(2, 4).

Теперь, чтобы найти длину средней линии MP, мы можем использовать формулу расстояния между точками.

Расстояние между точками (x₁, y₁) и (x₂, y₂) можно найти с помощью формулы:

d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)

Для линии MP, точки M(2, 4) и P(0, 6), поэтому:

x₁ = 2, y₁ = 4 x₂ = 0, y₂ = 6

Подставляя значения в формулу, получаем:

d = √((0 - 2)² + (6 - 4)²) = √((-2)² + (2)²) = √(4 + 4) = √8 = 2√2

Таким образом, длина средней линии MP (параллельно стороне BC) равна 2√2.

(г) Угол ^ :

Чтобы найти угол ^, мы можем использовать теорему косинусов для треугольника ABC.

Теорема косинусов гласит: c² = a² + b² - 2ab * cos(C), где a, b и c - стороны треугольника, а C - противолежащий угол.

В нашем случае, стороны треугольника ABC следующие: AB = √((0 - (-2))² + (6 - 0)²) = √(2² + 6²) = √40 = 2√10 BC = √((4 - 0)² + (2 - 6)²) = √(4² + (-4)²) = √(16 + 16) = √32 = 4√2 AC = 2√10 (мы нашли это в пункте (а))

Для нахождения угла ^, нам нужно найти угол, противолежащий стороне AC, поэтому C = ^.

Подставляя значения в формулу теоремы косинусов, получаем:

(2√10)² = (2√10)² + (4√2)² - 2(2√10)(4√2) * cos(^)

4 * 10 = 4 * 10 + 16 * 2 - 16√10 * 4√2 * cos(^)

40 = 40 + 32 - 64√10 * cos(^)

0 = -32