Question

1.ученик в тетради случайно написал двузначное число. Какова вероятность того, что это число окажется 1) нечетным; 3)кратным трем. 2. Два стрелка произвели по одному выстрелу по мишени. Один из стрелков может поразить мишень с вероятностью, равной - 0,7, а второй -0,8. Какова вероятность того,что 1) в мишень попал только один стрелок; 2)в мишень попал, по крайней мере, один стрелок; 3) оба стрелка попали в мишень; 4) оба стрелка промахнулись; 5) по крайней мере, один из стрелков промахнулся?

Answer 1

1. Всего двузначных чисел 99 - 9 = 90.

1) Из них нечетных только 45, вероятность того, что он написал число нечетное равна 45/90 = 1/2.

2) Имеем последовательность 12, 15, ... , 99 - арифметическую прогрессию

$a_n=a_1+(n-1)d\\ 99=12+3(n-1)~|:3\\ 33=4+n-1\\ n=30$

Т.е. из 90 чисел всего только 30 чисел, кратные трем.

Вероятность того, что он написал число, кратное трем, равна 30/90=1/3

2. Из условия $p_1=0.7;~~~p_2=0.8$

Вероятности промаха каждого стрелка: $q_1=0.3;~ q_2=0.2$ соответственно.

1) Вероятность того, что один из стрелков попал в мишень, равна

$P=p_1q_2+p_2q_1=0.7\cdot0.2+0.3\cdot0.8=0.38$

2) Вероятность того, что в мишень попал, по крайней мере, один стрелок, равна

$P'=p_1q_2+p_2q_1+p_1p_2=0.7\cdot0.2+0.3\cdot0.8+0.8\cdot0.7=0.94$

3) Вероятность того, что оба стрелка попали в мишень, равна

$P^*=p_1p_2=0.7\cdot0.8=0.56$

4) Вероятность того, что оба стрелка промахнулись, равна

$q_1q_2=0.3\cdot0.2=0.06$

5) Вероятность того, что, по крайней мере, один из стрелков промахнулся, равна

$\overline{P^*}=1-P^*=1-0.56=0.44$

Answer 2

Для решения этих задач по вероятности, мы будем использовать принципы комбинаторики и вероятности. Давайте рассмотрим каждую задачу по отдельности.

Задача 1: Вероятность двузначного числа быть нечетным и кратным трём

Для определения вероятности, что случайно выбранное двузначное число является нечетным и кратным трём, нам необходимо рассмотреть возможные числа, удовлетворяющие этим условиям.

Числа, удовлетворяющие условию:

Нечетное число, кратное трём, может быть только 3, 9, 15, 21, 27, 33, 39, 45, 51, 57, 63, 69, 75, 81, 87, 93 или 99.

Всего возможных двузначных чисел:

Двузначные числа начинаются с 10 и заканчиваются 99, поэтому всего возможных двузначных чисел - 90.

Вероятность:

Вероятность того, что случайно выбранное двузначное число является нечетным и кратным трём, равна количеству чисел, удовлетворяющих условию, деленному на общее количество двузначных чисел.

В данном случае, количество чисел, удовлетворяющих условию, равно 16 (по перечисленным числам выше), а общее количество двузначных чисел равно 90.

Таким образом, вероятность равна 16/90, что можно упростить до 8/45.

Задача 2: Вероятность попадания стрелков в мишень

Для определения вероятностей попадания стрелков в мишень, у нас есть два случая: когда попал только один стрелок и когда попали оба стрелка.

Вероятность попадания стрелков в мишень:

Вероятность попадания первого стрелка в мишень равна 0,7, а вероятность попадания второго стрелка равна 0,8.

Вероятность попадания только одного стрелка:

Чтобы определить вероятность попадания только одного стрелка, мы должны учесть два случая: первый стрелок попал, а второй - промахнулся, и наоборот. Оба этих случая являются независимыми.

Вероятность первого стрелка попасть, а второго промахнуться: 0,7 * (1 - 0,8) = 0,7 * 0,2 = 0,14.

Вероятность первого стрелка промахнуться, а второго попасть: (1 - 0,7) * 0,8 = 0,3 * 0,8 = 0,24.

Таким образом, вероятность попадания только одного стрелка равна 0,14 + 0,24 = 0,38.

Вероятность попадания хотя бы одного стрелка:

Чтобы определить вероятность попадания хотя бы одного стрелка, мы можем рассмотреть случай, когда оба стрелка попали (0,7 * 0,8) и вычесть его из единицы, так как это будет обратным событием.

Вероятность попадания хотя бы одного стрелка: 1 - (вероятность обоих стрелков промахнуться) = 1 - (0,3 * 0,2) = 1 - 0,06 = 0,94.

Вероятность попадания обоих стрелков:

Вероятность попадания обоих стрелков равна произведению их вероятностей попадания в мишень: 0,7 * 0,8 = 0,56.

Вероятность обоих стрелков промахнуться:

Вероятность обоих стрелков промахнуться равна произведению их вероятностей промаха: (1 - 0,7) * (1 - 0,8) = 0,3 * 0,2 = 0,06.

Вероятность, что хотя бы один стрелок промахнулся:

Чтобы определить вероятность, что хотя бы один стрелок промахнулся, мы можем вычесть вероятность попадания обоих стрелков из единицы.

Вероятность, что хотя бы один стрелок промахнулся: 1 - (вероятность обоих стрелков попасть) = 1 - 0,56 = 0,44.

Таким образом, ответы на вопросы:

1) Вероятность попадания только одного стрелка: 0,38. 2) Вероятность попадания хотя бы одного стрелка: 0,94. 3) Вероятность попадания обоих стрелков: 0,56. 4) Вероятность обоих стрелков промахнуться: 0,06. 5) Вероятность, что хотя бы один стрелок промахнулся: 0,44.