Question

Найти предел lim=(((3n+1)/3n)^n) / ((3n+4)/(3n+3))^(n+1)

Answer 1

$\lim_{n \to \infty} (\frac{3n+1}{3n})^n= \sqrt[3]{e}$ - решил через 2 замечательный предел.

Всё же я подумал что вы возможно не поняли как я до этого дошел:

2 замечательный предел гласит:
$\lim_{x\to \infty}(1+ \frac{1}{n} )^n=e$

В нашем случае:
$\lim_{n \to \infty} (\frac{3n+1}{3n})^n= \lim_{n \to \infty} (1+\frac{1}{3n})^n$ - где $\frac{1}{3}$ это степень числа $e$, откуда:
$\lim_{n \to \infty} (1+\frac{1}{3n})^n=e^ \frac{1}{3}= \sqrt[3]{e}$

Answer 2

Для нахождения предела данной функции, мы можем воспользоваться правилом Лопиталя, которое позволяет находить пределы функций вида 0/0 или бесконечность/бесконечность.

Сначала найдем предел отношения двух функций, которые входят в данное выражение:

lim (n → ∞) ((3n+1)/(3n))^n / ((3n+4)/(3n+3))^(n+1)

Для удобства, обозначим первое выражение как A и второе как B:

A = ((3n+1)/(3n))^n B = ((3n+4)/(3n+3))^(n+1)

Теперь найдем предел отношения A к B:

lim (n → ∞) A/B = lim (n → ∞) (A/B) = lim (n → ∞) (A * 1/B)

Теперь применим правило Лопиталя для нахождения предела A и B:

lim (n → ∞) (ln(A)) / (ln(B)) = lim (n → ∞) (ln(((3n+1)/(3n))^n)) / (ln(((3n+4)/(3n+3))^(n+1))) = lim (n → ∞) (n * ln((3n+1)/(3n))) / ((n+1) * ln((3n+4)/(3n+3)))

Теперь найдем предел отношения ln((3n+1)/(3n)) и ln((3n+4)/(3n+3)):

= lim (n → ∞) (ln((3n+1)/(3n))) / (1/n) = lim (n → ∞) (ln((3+1/n)/(3+1))) = ln(1)

Таким образом, предел ln(A)/ln(B) равен 0.

Следовательно, предел исходной функции lim (n → ∞) (((3n+1)/3n)^n) / ((3n+4)/(3n+3))^(n+1) равен exp(0) = 1.