Question

Докажите неравенство (а в кубе-b в кубе)(а-b) больше или равно 3аb(а-b) в квадрате

Answer 1

(а³-в³)(а-в)≥3ав(а-в)²
(а-в)(а-в)(а²+ав+в²)≥3ав(а-в)²
(а-в)²(а²+ав+в²)≥3ав(а-в)²
(а²+ав+в²)≥3ав, вычтем из левой части правую, получим а²+ав+в²-3ав=а²-2ав+в²=(а-в)² Квадрат всегда положителен или равен 0. Доказано!

Answer 2

Для начала, давайте раскроем скобки в данном неравенстве и приведем подобные слагаемые:

(а³ - b³)(а - b) >= 3ab(а - b)²

После раскрытия скобок получаем:

а⁴ - a³b - ab³ + b⁴ >= 3a²b² - 6ab³ + 3b⁴

Теперь сгруппируем все слагаемые и упростим выражение:

а⁴ - 3a²b² + 3ab³ - b⁴ >= 0

Далее, давайте рассмотрим разность двух кубов:

(а - b)(a³ + a²b + ab² + b³)

Это выражение можно факторизовать следующим образом:

(а - b)(а³ + a²b + ab² + b³) = a⁴ - b⁴

Теперь мы можем заменить разность двух кубов в исходном неравенстве на эту факторизацию:

(а⁴ - b⁴) >= 3a²b² - 3ab³

Теперь, заметим, что правая часть неравенства может быть представлена как произведение:

3a²b² - 3ab³ = 3ab²(a - b)

Таким образом, исходное неравенство можно записать следующим образом:

(а⁴ - b⁴) >= 3ab²(a - b)

Теперь, заметим, что разность двух кубов (а⁴ - b⁴) всегда будет положительной или равной нулю, так как она представляет собой произведение двух разностей (а - b) и (a³ + a²b + ab² + b³), где оба множителя положительны или равны нулю.

С другой стороны, произведение 3ab²(a - b) может быть положительным, отрицательным или равным нулю в зависимости от значений а и b.

Таким образом, неравенство (а⁴ - b⁴) >= 3ab²(a - b) верно для всех значений а и b.

Это доказывает исходное неравенство.