Question

Решите тригонометрическое неравенство (sin x/2 - cos x/2)2 < 1/2

Answer 1

Sin²x/2-2sinx/2cosx/2+cos²x/2<1/2
1-sinx<1/2
sinx>1/2
x∈(π/6+2πn;5π/6+2πn)

Answer 2

Решение тригонометрического неравенства

Для решения данного тригонометрического неравенства нам нужно использовать знания о тригонометрических функциях и их свойствах. Давайте начнем с того, что перепишем данное неравенство в более удобной форме.

Имеем неравенство: (sin(x/2) - cos(x/2))^2 < 1/2.

Мы знаем, что (sin(x/2) - cos(x/2))^2 = sin^2(x/2) - 2sin(x/2)cos(x/2) + cos^2(x/2). Теперь мы можем использовать тригонометрические тождества, чтобы упростить это выражение.

Используем тригонометрические тождества:

sin^2(x/2) + cos^2(x/2) = 1, sin(x/2)cos(x/2) = 1/2 * sin(x).

Подставляем тождества:

(sin(x/2) - cos(x/2))^2 = sin^2(x/2) - 2sin(x/2)cos(x/2) + cos^2(x/2) = sin^2(x/2) - sin(x) + cos^2(x/2) = 1 - sin(x).

Таким образом, исходное неравенство примет вид: 1 - sin(x) < 1/2, -sin(x) < -1/2, sin(x) > 1/2.

Решаем неравенство: Теперь мы можем решить это неравенство. Учитывая, что sin(x) > 1/2, мы знаем, что x находится в интервале (π/6 + 2πn, 5π/6 + 2πn), где n - целое число.

Таким образом, решение тригонометрического неравенства (sin(x/2) - cos(x/2))^2 < 1/2 выражается через интервалы x: x ∈ (π/6 + 2πn, 5π/6 + 2πn), где n - целое число.