Question

Sin (4x) + cos (6x) = 0

Answer 1

Sin (4x) + cos (6x) = 0
$sin (4x) + cos (6x) = 0 \\ \\ cos( \frac{ \pi }{2} -4x)+cos(6x)=0 \\ \\2cos( \frac{\frac{ \pi }{2} -4x+6x}{2} })cos( \frac{ \frac{ \pi }{2} -4x-6x}{2} } ) =0 \\ \\ 2cos( \frac{ \pi }{4}+x )cos( \frac{ \pi }{4}-5x )=0 \\ \\ 1) cos( \frac{ \pi }{4}+x )=0 \\ \\ \frac{ \pi }{4} +x = \frac{ \pi }{2} + \pi n \\ \\ x= \frac{ \pi }{2} - \frac{ \pi }{4} + \pi n \\ \\ x = \frac{ \pi }{4} + \pi n$

$2)cos( \frac{ \pi }{4}-5x )=0 \\ \\ cos( 5x - \frac{ \pi }{4} )=0 \\ \\ 5x - \frac{ \pi }{4} = \frac{ \pi }{2} + \pi k \\ \\ 5x = \frac{ \pi }{2} + \frac{ \pi }{4} + \pi k \\ \\ 5x= \frac{3 \pi }{4} + \pi k \\ \\ x = \frac{3 \pi }{20} + \frac{ \pi }{5} k$

Ответ
$x_1 = \frac{ \pi }{4} + \pi n \\ \\ x_2 = \frac{3 \pi }{20} + \frac{ \pi }{5} k$     n,k∈Z

Answer 2

Для решения уравнения sin(4x) + cos(6x) = 0, мы можем использовать различные методы, включая графический метод, метод подстановки, метод идентичности и численные методы. Давайте рассмотрим каждый метод подробнее.

Графический метод

Сначала давайте построим график функции y = sin(4x) + cos(6x) и найдем точки пересечения с осью x, где y = 0. Мы можем использовать программы для построения графиков, такие как Python с библиотекой matplotlib, чтобы визуализировать уравнение.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(0, 2*np.pi, 1000)
y = np.sin(4*x) + np.cos(6*x)

plt.plot(x, y)
plt.axhline(0, color='r', linestyle='--')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Graph of sin(4x) + cos(6x)')
plt.grid(True)
plt.show()

После построения графика, мы сможем увидеть точки пересечения с осью x, где y = 0. Это будут значения x, при которых sin(4x) + cos(6x) = 0.

Метод подстановки

Другой способ решить уравнение sin(4x) + cos(6x) = 0 - это использовать метод подстановки. Для этого давайте предположим, что sin(4x) = t. Тогда уравнение примет вид:

t + cos(6x) = 0

Теперь мы можем решить это уравнение для t и x, используя методы решения уравнений.

Метод идентичности

Также можно использовать тригонометрические идентичности для решения данного уравнения. Например, мы можем использовать идентичность sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b), чтобы преобразовать уравнение sin(4x) + cos(6x) = 0:

sin(4x) + sin(π/2 - 6x) = 0

Теперь мы можем использовать идентичность для суммы синусов, чтобы преобразовать уравнение:

2sin(5x - π/4)cos(5x + π/4) = 0

Теперь мы можем решить это уравнение, установив каждый множитель равным нулю и найдя соответствующие значения x.

Численные методы

Если нам нужно получить численное приближенное решение, мы можем использовать численные методы, такие как метод половинного деления (бисекции), метод Ньютона или метод секущих. Эти методы позволяют найти корни уравнения с любой точностью.

Надеюсь, эти методы помогут вам решить уравнение sin(4x) + cos(6x) = 0. Если у вас есть конкретные значения x, для которых вы хотите найти решение, пожалуйста, уточните эту информацию, и я смогу помочь вам более точно.