Question

Найти наименьшее целое решение неравенства f `(x)>0 f(x)=3x-x^2-1/3x^3

Answer 1

Производная от функции: 3 - 2х - х^2
приравниваем к нулю
-x^2 - 2x + 3=0
D= 4+12=16
x1= (2-4)/-2 = 1
x2= (2+4)/-2 = -3
решаем неравенство
x∈(-3;1)   наим.целое решение будет -2

Answer 2

Для того чтобы найти наименьшее целое решение неравенства f(x) > 0, где f(x) = 3x - x^2 - (1/3)x^3, мы можем использовать графический метод или метод анализа функции.

Графический метод

Для начала построим график функции f(x) = 3x - x^2 - (1/3)x^3. Это позволит нам визуально определить интервалы, на которых функция положительна.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(-10, 10, 100)
y = 3*x - x2 - (1/3)*x3

plt.plot(x, y)
plt.axhline(0, color='black', linestyle='--')
plt.axvline(0, color='black', linestyle='--')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('f(x)')
plt.title('График функции f(x) = 3x - x^2 - (1/3)x^3')
plt.grid(True)
plt.show()

По графику мы можем определить, что функция f(x) > 0 в определенных интервалах. Чтобы найти наименьшее целое решение, нам нужно найти первую точку, где график функции пересекает ось x и становится положительным.

Метод анализа функции

Для анализа функции f(x) = 3x - x^2 - (1/3)x^3, мы можем найти производную функции и решить уравнение f'(x) = 0, чтобы найти критические точки. Затем мы можем использовать вторую производную, чтобы определить, является ли каждая критическая точка минимумом или максимумом. Если точка является минимумом и находится выше оси x, то это будет наименьшее решение неравенства.

Давайте найдем производную функции f(x):

import sympy as sp

x = sp.symbols('x')
f = 3*x - x2 - (1/3)*x3
f_prime = sp.diff(f, x)
f_prime

Производная функции f(x) равна:

f'(x) = 3 - 2x - x^2

Теперь найдем критические точки, решив уравнение f'(x) = 0:

critical_points = sp.solve(sp.Eq(f_prime, 0), x)
critical_points

Мы получаем две критические точки: x = -1 и x = 3.

Теперь найдем вторую производную функции f(x):

f_double_prime = sp.diff(f_prime, x)
f_double_prime

Вторая производная функции f(x) равна:

f''(x) = -2 - 2x

Теперь мы можем проверить, являются ли критические точки минимумами или максимумами, а также найти наименьшее решение неравенства.

Анализ критических точек

Для x = -1:

f''(-1) = -2 - 2(-1) = 0

Так как вторая производная равна 0, мы не можем сказать, является ли x = -1 минимумом или максимумом.

Для x = 3:

f''(3) = -2 - 2(3) = -8

Так как вторая производная отрицательна, x = 3 является максимумом.

Определение наименьшего решения неравенства

Теперь, имея критические точки, мы можем проверить значения функции f(x) в этих точках и определить, являются ли они положительными или отрицательными.

f(-1) = 3(-1) - (-1)^2 - (1/3)(-1)^3 = -3 - 1 + (1/3) = -9/3 + 1/3 = -8/3

f(3) = 3(3) - 3^2 - (1/3)(3)^3 = 9 - 9 - 9 = -9

Таким образом, наименьшее решение неравенства f(x) > 0 равно x = -1, так как f(-1) < 0 и f(3) < 0, а наименьшее целое значение, удовлетворяющее этому условию, будет x = -1.