Question

Найдите наименьшее значение функции √х^2-8х+32

Answer 1

у = х² - 8х +7 

Приравниваем к нолю

получаем, х² - 8х + 7 =0

Решаем через дискриминант 

Д =  64 - 4 *7 = 36= 6²

Имеет два корня 

х₁ = 1

х₂ = 7

Answer 2

Для нахождения наименьшего значения функции \( \sqrt{x^2 - 8x + 32} \), мы можем использовать различные методы. Одним из способов является использование алгебраических методов, а другим - геометрических методов.

Алгебраический метод:

Шаг 1: Найдите вершину параболы Функция \( \sqrt{x^2 - 8x + 32} \) представляет собой параболу, поскольку мы имеем квадратичное выражение под знаком корня. Чтобы найти наименьшее значение функции, мы должны найти координаты вершины этой параболы.

Квадратичное выражение \( x^2 - 8x + 32 \) можно преобразовать в каноническую форму, чтобы легче найти вершину параболы: \( x^2 - 8x + 32 = (x - 4)^2 - 16 + 32 = (x - 4)^2 + 16 \).

Следовательно, вершина параболы имеет координаты (4, 16).

Шаг 2: Определите, является ли вершина минимумом или максимумом Поскольку у квадратичной функции \( \sqrt{x^2 - 8x + 32} \) коэффициент при \( x^2 \) положительный, парабола открывается вверх и вершина является минимумом функции.

Шаг 3: Найдите значение функции в вершине Мы уже знаем, что вершина параболы имеет координаты (4, 16). Подставим эти значения в функцию, чтобы найти наименьшее значение: \( f(4) = \sqrt{4^2 - 8 \cdot 4 + 32} = \sqrt{16 - 32 + 32} = \sqrt{16} = 4 \).

Таким образом, наименьшее значение функции \( \sqrt{x^2 - 8x + 32} \) равно 4.

Геометрический метод:

Мы можем также использовать геометрический метод для нахождения наименьшего значения функции \( \sqrt{x^2 - 8x + 32} \). Обратите внимание, что данная функция представляет собой корень квадратный от суммы квадратов двух величин \( x \) и \( -4 \).

Функция \( \sqrt{x^2 - 8x + 32} \) достигает своего наименьшего значения, когда выражение под корнем \( x^2 - 8x + 32 \) минимально. Это происходит, когда \( x \) находится в точности посередине между двумя корнями данного выражения. В данном случае, так как выражение \( x^2 - 8x + 32 \) является квадратным трехчленом, у него есть два корня, и они симметричны относительно оси симметрии параболы.

Таким образом, мы можем найти наименьшее значение функции \( \sqrt{x^2 - 8x + 32} \), найдя середину между этими двумя корнями. Для этого мы можем использовать формулу для нахождения координат середины отрезка между двумя точками.

Вычислим корни выражения \( x^2 - 8x + 32 \) с помощью формулы дискриминанта. Дискриминант \( D \) данного выражения равен: \( D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 32 = 64 - 128 = -64 \).

Так как дискриминант отрицательный, у этого выражения нет действительных корней. Это означает, что парабола функции \( \sqrt{x^2 - 8x + 32} \) не пересекает ось \( x \), и следовательно, функция не достигает наименьшего значения.

Таким образом, наименьшего значения функции \( \sqrt{x^2 - 8x + 32} \) не существует.