Question

Найдите все пары натуральных чисел (х,у), удовлетворяющих равенству 1/х+1/у=7/13

Answer 1

(x+y)/xy=7/13
13*(x+y)=7*xy
13*x+13*y-7*x*y=0
x*(13-7y) +13*y=0
x*(13-7y) -2*(13-7y)-y+26=0
(x-2)*(13-7y)-y=-26
(7x-14)*(13-7y)-7*y=-182
(7x-14)*(13-7*y)+(13-7*y)=-169
(7x-13)*(13-7y)=-169
(7x-13)*(7y-13)=169
Тк  каждая из скобок   целое число тк x и y-натуральные.
то каждая из скобок делитель  числа 169=13^2  тут  возможны разложения:
13*13   -13*-13      169*1    -169*-1 и  симметричные им варианты  соответственно.
1) 7x-13=13 
7x=26   невозможно тк 26 не  делится на 7.
2) 7x-13=-13 x=0 (не  подходит тк 0  не  натуральное число)
3) 7x-13=169
 7x=182
x=26
7y-13=1
7y=14
y=2
Cимметричная пара: x=2 y=26
4) 7x-13=-169
  7x=-156  
(не  делится на 7) Другие варианты симметричны  тк  скобки похожи.
То  есть там тоже не будет решений.
Ответ:(2,26) ;(26,2)  

Answer 2

Чтобы найти все пары натуральных чисел (x, y), удовлетворяющих уравнению 1/x + 1/y = 7/13, мы можем использовать алгебраические методы.

Для начала, перепишем уравнение в общем виде:

13(xy) = 7(x + y).

Заметим, что уравнение симметрично относительно переменных x и y, поэтому мы можем считать, что x ≤ y без ограничения общности.

Для дальнейшего анализа, домножим обе части уравнения на 13xy:

13xy * 13 = 7xy(x + y).

Теперь у нас есть квадратное уравнение вида:

7xy^2 + 7x^2y - 169xy = 0.

Давайте попробуем решить это уравнение.

Разложение на множители

Мы можем попытаться разложить уравнение на множители. Заметим, что уравнение имеет вид квадратного трёхчлена, поэтому мы можем попробовать разложить его на два линейных множителя.

Попробуем разложить уравнение следующим образом:

(xy - a)(7xy - b) = 0,

где a и b - некоторые константы.

Раскроем скобки:

7xy^2 - bxy - 7axy + ab = 0.

Сравним это с исходным уравнением:

7xy^2 + 7x^2y - 169xy = 0.

Из сравнения коэффициентов при xy^2, xy и xy, мы получаем следующие уравнения:

7a = 7, ab - 7a = -169.

Из первого уравнения получаем a = 1, а из второго уравнения b = -162.

Таким образом, мы получаем следующее разложение на множители:

(xy - 1)(7xy + 162) = 0.

Решение уравнений

Из разложения на множители мы получаем два уравнения:

1) xy - 1 = 0, 2) 7xy + 162 = 0.

1) xy - 1 = 0:

Решим это уравнение:

xy = 1.

Так как x и y являются натуральными числами, единственными возможными значениями для (x, y) являются (1, 1) и (1, 1), так как x и y должны быть положительными целыми числами.

2) 7xy + 162 = 0:

Решим это уравнение:

xy = -162/7.

Так как x и y должны быть натуральными числами, нет натуральных чисел, которые удовлетворяют этому уравнению.

Вывод

Таким образом, пары натуральных чисел (x, y), удовлетворяющие уравнению 1/x + 1/y = 7/13, это (1, 1) и (1, 1).