Question

50 баллов. (Решать подробно с ответом) Выясните, имеет ли уравнение корни, и если имеет, то каковы их знаки:а) x² - 18x + 17 = 0б) x² - 2x - 1 = 0в) x² - 15x + 56 = 0

Answer 1

$1)x^2-18x+17=0 \\ D= \sqrt{(-18^2)-4*1*17}= \sqrt{256}=б16 \\ \\ x_1= \frac{18+16}{2}=17 \\ \\ x_2 = \frac{18-16}{2}=1 \\ \\ \\ 2)x^2-2x-1=0 \\ D= \sqrt{(-2)^2-4*1*(-1)} = \sqrt{8} =б2 \sqrt{2} \\ \\ x_1= \frac{2+2 \sqrt{2} }{2} =1+ \sqrt{2} \\ \\ x_2=\frac{2-2 \sqrt{2} }{2} =1- \sqrt{2} \\ \\ \\ 3)x^2-15x+56=0 \\ D= \sqrt{(-15)^2-4*1*56} = \sqrt{1} =б1 \\ \\ x_1= \frac{15+1}{2} =8 \\ \\ x_2=\frac{15-1}{2}=7$

Answer 2

Уравнение 1: x² - 18x + 17 = 0

Для того чтобы выяснить, имеет ли уравнение корни и определить их знаки, мы можем воспользоваться дискриминантом. Дискриминант определяется как D = b² - 4ac, где a, b и c - это коэффициенты уравнения ax² + bx + c = 0.

В данном случае, уравнение имеет вид x² - 18x + 17 = 0, поэтому a = 1, b = -18 и c = 17. Подставим эти значения в формулу для дискриминанта:

D = (-18)² - 4 * 1 * 17 = 324 - 68 = 256

Поскольку дискриминант D равен 256, это означает, что уравнение имеет два различных корня, так как D > 0. Чтобы определить знаки корней, нам нужно решить уравнение.

Используя формулу дискриминанта, мы можем найти значения корней уравнения:

x₁ = (-b + √D) / (2a) = (18 + √256) / 2 = (18 + 16) / 2 = 34 / 2 = 17 x₂ = (-b - √D) / (2a) = (18 - √256) / 2 = (18 - 16) / 2 = 2 / 2 = 1

Таким образом, первый корень x₁ = 17, а второй корень x₂ = 1. Оба корня положительные.

Уравнение 2: x² - 2x - 1 = 0

Аналогично первому уравнению, найдем дискриминант для уравнения x² - 2x - 1 = 0. Здесь a = 1, b = -2 и c = -1.

D = (-2)² - 4 * 1 * (-1) = 4 + 4 = 8

Так как D > 0, уравнение имеет два различных корня. Решим уравнение:

x₁ = (-b + √D) / (2a) = (2 + √8) / 2 = (2 + 2√2) / 2 = 1 + √2 x₂ = (-b - √D) / (2a) = (2 - √8) / 2 = (2 - 2√2) / 2 = 1 - √2

Таким образом, первый корень x₁ = 1 + √2, а второй корень x₂ = 1 - √2. Оба корня положительные.

Уравнение 3: x² - 15x + 56 = 0

Рассмотрим уравнение x² - 15x + 56 = 0. Здесь a = 1, b = -15 и c = 56.

D = (-15)² - 4 * 1 * 56 = 225 - 224 = 1

Так как D > 0, уравнение имеет два различных корня. Решим уравнение:

x₁ = (-b + √D) / (2a) = (15 + √1) / 2 = 15 / 2 = 7.5 x₂ = (-b - √D) / (2a) = (15 - √1) / 2 = 15 / 2 = 7.5

Таким образом, оба корня x₁ и x₂ равны 7.5. Оба корня положительные.

Таким образом, мы определили корни уравнений и их знаки:

а) Уравнение x² - 18x + 17 = 0 имеет корни x₁ = 17 и x₂ = 1, оба корня положительные. б) Уравнение x² - 2x - 1 = 0 имеет корни x₁ = 1 + √2 и x₂ = 1 - √2, оба корня положительные. в) Уравнение x² - 15x + 56 = 0 имеет корни x₁ = 7.5 и x₂ = 7.5, оба корня положительные.