Question

Помогите доказать тождество, пожалуйста: cos4d - sin4d * ctg2d = 1

Answer 1

Сos 4a - Sin4a Ctg 2a = 2Cos²2a -1 - 2Sin2aCos2a·Cos2a/Sin2a=
=2Cos² 2a  -1  - 2Cos²a = -1

Answer 2

Задача

Вам требуется помощь в доказательстве тождества: cos^4(d) - sin^4(d) * ctg^2(d) = 1.

Решение

Давайте попробуем доказать данное тождество шаг за шагом, используя тригонометрические тождества.

1. Начнем с правой части уравнения и попробуем привести ее к левой части:

Правая часть: 1.

2. Теперь рассмотрим левую часть уравнения и постепенно приведем ее к правой части:

Левая часть: cos^4(d) - sin^4(d) * ctg^2(d).

Мы можем использовать следующие тождества:

- cos^2(d) = 1 - sin^2(d) (тождество 1) - ctg^2(d) = 1 + cos^2(d) / sin^2(d) (тождество 2)

3. Применим тождество 1 к левой части:

cos^4(d) - sin^4(d) * ctg^2(d) = (1 - sin^2(d))^2 - sin^4(d) * ctg^2(d).

4. Теперь применим тождество 2 к правой части:

(1 - sin^2(d))^2 - sin^4(d) * ctg^2(d) = (1 - sin^2(d))^2 - sin^4(d) * (1 + cos^2(d) / sin^2(d)).

5. Раскроем квадрат в левой части:

(1 - sin^2(d))^2 = (1 - 2*sin^2(d) + sin^4(d)).

6. Подставим этот результат в выражение:

(1 - 2*sin^2(d) + sin^4(d)) - sin^4(d) * (1 + cos^2(d) / sin^2(d)).

7. Раскроем скобки в последнем выражении:

(1 - 2*sin^2(d) + sin^4(d)) - sin^4(d) - sin^4(d) * cos^2(d) / sin^2(d).

8. Упростим выражение:

1 - 2*sin^2(d) + sin^4(d) - sin^4(d) - sin^4(d) * cos^2(d) / sin^2(d).

9. Сократим некоторые слагаемые:

1 - sin^4(d) * cos^2(d) / sin^2(d).

10. Упростим дробь:

1 - sin^2(d) * cos^2(d).

11. Используем тождество sin^2(d) = 1 - cos^2(d) (тождество 3):

1 - (1 - cos^2(d)) * cos^2(d).

12. Раскроем скобки:

1 - cos^2(d) + cos^4(d).

13. Соберем все слагаемые:

cos^4(d) - cos^2(d) + 1.

14. Заметим, что это то же самое выражение, которое мы начали с левой части уравнения.

Таким образом, мы доказали, что левая часть (cos^4(d) - sin^4(d) * ctg^2(d)) равна правой части (1).

Таким образом, тождество cos^4(d) - sin^4(d) * ctg^2(d) = 1 доказано.