Question

Решите систему: cos^3(x)-sin^3(x)=cos2x 0<=x<= 3pi/2

Answer 1

cos³x - sin³x = cos 2x

0 ≤ x ≤ 3*π/2

 

(cos x - sin x) * (cos²x + cos x * sin x + sin²x) = (cos x - sin x) * (cos x + sin x)

1) cos x - sin x = 0

    sin x = cos x

    tg x = 1

    x = π/4 + π * n

 

2)  1 + cos x * sin x = cos x + sin x

Поскольку (cos x + sin x)² = cos²x + 2 * sin x *cos x + cos²x = 1 + 2 * sin x *cos x

то  sin x * cos x = ((cos x + sin x)² - 1)/2

Положив   cos x + sin x = y , получаем уравнение

1 + (у² - 1) / 2 = y

2 + y² - 1 - 2 * y = 0

y² - 2 * y + 1 = 0

(y - 1)² = 0

у = 1

Получаем    cos x + sin x = 1

                 √ 2 * cos (x - π/4) = 1

                  cos (x - π/4) = 1 / √ 2

                  x - π/4 = ± π / 4 + 2 * π * m

                  x = π/4 ± π / 4 + 2 * π * m

Интервалу  [ 0 ; 3 * π / 2]  принадлежат следующие значения  х

х₁ = 0     х₂ = π/4    x₃ = π/2    x₄ = 5*π/4  

Answer 2

Для решения данной системы уравнений, нам нужно найти значения переменной x, которые удовлетворяют обоим уравнениям.

Давайте начнем с первого уравнения: cos^3(x) - sin^3(x) = cos(2x). Мы можем использовать тригонометрические тождества, чтобы упростить это уравнение.

Заметим, что cos^3(x) - sin^3(x) может быть факторизовано с использованием формулы разности кубов: (cos(x) - sin(x))(cos^2(x) + cos(x)sin(x) + sin^2(x)). Тогда наше уравнение принимает вид:

(cos(x) - sin(x))(cos^2(x) + cos(x)sin(x) + sin^2(x)) = cos(2x).

Далее, мы можем использовать тригонометрическую формулу cos^2(x) + sin^2(x) = 1, чтобы заменить cos^2(x) + cos(x)sin(x) + sin^2(x) на 1:

(cos(x) - sin(x))(1) = cos(2x).

Теперь мы можем разделить обе стороны на (cos(x) - sin(x)):

1 = cos(2x) / (cos(x) - sin(x)).

Теперь обратимся ко второму уравнению: 0 ≤ x ≤ 3π/2.

Итак, мы хотим найти значения x, которые удовлетворяют обоим уравнениям:

1 = cos(2x) / (cos(x) - sin(x)), 0 ≤ x ≤ 3π/2.

Для решения этой системы уравнений, мы можем приступить к решению каждого уравнения по отдельности.

Решение уравнения 1 = cos(2x) / (cos(x) - sin(x)):

Чтобы решить это уравнение, мы можем умножить обе стороны на (cos(x) - sin(x)):

1 * (cos(x) - sin(x)) = cos(2x).

Теперь раскроем скобки:

cos(x) - sin(x) = cos(2x).

Мы можем использовать тригонометрическую формулу cos(2x) = 2cos^2(x) - 1, чтобы заменить cos(2x) в уравнении:

cos(x) - sin(x) = 2cos^2(x) - 1.

Теперь приведем все слагаемые к одной стороне уравнения:

2cos^2(x) - cos(x) + sin(x) - 1 = 0.

Полученное уравнение является квадратным уравнением относительно переменной cos(x). Мы можем решить его с помощью стандартных методов решения квадратных уравнений.

Решение уравнения 0 ≤ x ≤ 3π/2:

Данное уравнение задает ограничение на переменную x. Мы хотим найти значения x, которые удовлетворяют этому ограничению.

0 ≤ x ≤ 3π/2 означает, что x находится в интервале от 0 до 3π/2 включительно. Это означает, что x не может быть меньше 0 и не может быть больше 3π/2.

Теперь мы можем приступить к решению уравнения 2cos^2(x) - cos(x) + sin(x) - 1 = 0 и проверить, какие значения x удовлетворяют ограничению 0 ≤ x ≤ 3π/2.