Question

Знайти область визначення функції y=1/e^x-1

Answer 1

если требуется область определения, то х - любой, кроме 0

если требуется область значения, то y - любой,кроме 0

 

Answer 2

Функція y = 1/(e^x - 1) має деякі обмеження на свою область визначення. Щоб знайти цю область, ми повинні врахувати дві речі: ділення на нуль і значення під експонентою.

Значення під експонентою

У функції y = 1/(e^x - 1) маємо експоненту e^x - 1. Це значить, що вираз під експонентою (e^x - 1) повинен бути додатнім, оскільки не можна взяти логарифм від негативного числа або нуля. Тому, щоб функція була визначена, потрібно, щоб e^x - 1 > 0.

Розв'язавши нерівність e^x - 1 > 0, отримаємо:

e^x > 1

Ділення на нуль

Друге обмеження на область визначення функції y = 1/(e^x - 1) виникає при діленні на нуль. У цьому випадку, якщо знаменник (e^x - 1) дорівнює нулю, функція стає невизначеною.

Тому, щоб знайти область визначення функції y = 1/(e^x - 1), ми повинні врахувати обидва ці обмеження.

Знаходження області визначення

1. Значення під експонентою: e^x > 1

Щоб знайти значення x, для яких e^x > 1, можемо застосувати натуральний логарифм до обох сторін нерівності:

ln(e^x) > ln(1)

x > 0

Таким чином, область визначення функції y = 1/(e^x - 1) - це всі додатні значення x.

2. Ділення на нуль: e^x - 1 ≠ 0

Для знаходження значень x, при яких e^x - 1 = 0, ми можемо розв'язати рівняння:

e^x - 1 = 0

e^x = 1

x = 0

Значення x = 0 є точкою, де функція не визначена.

Таким чином, область визначення функції y = 1/(e^x - 1) - це всі додатні значення x, крім x = 0.