Question

Решите неравенство,с объяснениями! (log9 (2-x) - log15 (2-x))/ log15 (x) - log25 (x) меньше-равно log25 (9)

Answer 1

 log₉ (2-x) - log₁₅ (2-x) 
---------------------------------- ≤ log₂₅ 9
 log₁₅ (x) - log₂₅ (x) 

ОДЗ :
1) знаменатель не должен быть равен 0
    значит log₁₅ (x) - log₂₅ (x) ≠0 ⇒ х≠1  
2) 2-х >0  x<2
3) x>0
 учитывая вышеуказанные ограничения х∈(0;1)∪(1;2)
----------------------------------------------------------------------------------
 заметим  , что  правая часть неравенства  больше 0 ,㏒₂₅9>0,          значит левая часть должна быть меньше   0 , то есть  

{ log₉ (2-x) - log₁₅ (2-x) >0 ,  log₁₅ (x) - log₂₅ (x) <0  
либо
{  log₉ (2-x) - log₁₅ (2-x) <0 ,  log₁₅ (x) - log₂₅ (x) >0  

1. если  х∈(0;1), то  log₁₅ (x) < log₂₅ (x) , a log₉ (2-x) > log₁₅ (2-x) значит 
в правой части получим отрицательное значение , условие выполняется

2. если  х∈(1; 2), то  log₁₅ (x) > log₂₅ (x) , a log₉ (2-x) <  log₁₅ (2-x) значит 
в правой части получим отрицательное значение , условие выполняется
 
 получили  х∈(0;1)∪(1;2) 

Answer 2

Для решения данного неравенства, мы будем использовать свойства логарифмов.

Итак, у нас есть неравенство:

(log9(2-x) - log15(2-x)) / log15(x) - log25(x) <= log25(9)

Для начала преобразуем левую часть неравенства, используя свойства логарифмов:

(log9(2-x) - log15(2-x)) / (log15(x) - log25(x)) <= log25(9)

Теперь мы можем объединить логарифмы в левой части неравенства:

log9(2-x) / (log15(x) - log25(x)) <= log25(9)

Далее, используя свойство логарифмов log(a) - log(b) = log(a/b), мы можем упростить выражение:

log9(2-x) / log(15/25)(x) <= log25(9)

Теперь преобразуем основания логарифмов:

log9(2-x) / log3(x) <= 2

Теперь мы можем избавиться от логарифмов, возведя обе части неравенства в степень 3:

(2-x)^3 / x <= 9

Раскроем скобки в левой части:

8 - 12x + 6x^2 - x^3 / x <= 9

Теперь приведем подобные члены и приведем неравенство к виду:

6x^2 - 12x + 8 <= 9x

Теперь приведем все члены в неравенстве в одну сторону:

6x^2 - 21x - 1 <= 0

Теперь решим квадратное уравнение:

D = 21^2 - 4*6*(-1) = 441 + 24 = 465

x1,2 = (21 +- sqrt(465)) / 12

x1 = (21 + sqrt(465)) / 12 ≈ 3.36 x2 = (21 - sqrt(465)) / 12 ≈ -0.19

Таким образом, получаем, что неравенство выполняется при x из отрезка (-∞, -0.19] и [3.36, +∞).