Question

Найдите все такие t, что 25^t + 49 · 5^2t > 9^t + 17 · 3^2t

Answer 1

$25^{t}+49* 25^{t}>9^{t}+17*9^{t}$

$25^{t}(49+1)>9^{t}(1+17)$

$25^{t}*50=9^{t}*18$

$\frac{25^{t}}{9^{t}} > \frac{18}{50}= \frac{9}{25}$

$( \frac{25}{9})^{t}=( \frac{25}{9})^{-1}$

t>-1

Answer 2

Для решения данного неравенства, мы можем использовать методы алгебры и логарифмов. Давайте разберемся пошагово.

Неравенство, которое нужно решить, имеет следующий вид:

25^t + 49 · 5^(2t) > 9^t + 17 · 3^(2t)

Для начала, давайте преобразуем выражения с помощью логарифмов. Возьмем логарифм от обеих частей неравенства:

log(25^t + 49 · 5^(2t)) > log(9^t + 17 · 3^(2t))

Теперь, мы можем использовать свойства логарифмов, чтобы упростить выражения. Воспользуемся следующими свойствами:

1. log(a + b) = log(a) + log(b) 2. log(a · b) = log(a) + log(b) 3. log(a^b) = b · log(a)

Применяя эти свойства, получим:

log(25^t) + log(49 · 5^(2t)) > log(9^t) + log(17 · 3^(2t))

t · log(25) + log(49) + 2t · log(5) > t · log(9) + log(17) + 2t · log(3)

Теперь, давайте сгруппируем переменные t вместе и числа вместе:

t · log(25) + 2t · log(5) - t · log(9) - 2t · log(3) > log(17) - log(49)

Упростим выражения, заменив значения логарифмов:

2t · log(5) - 2t · log(3) > log(17) - log(49)

Далее, сократим коэффициенты t:

2t · (log(5) - log(3)) > log(17) - log(49)

Так как log(5) - log(3) > 0, мы можем поделить обе части неравенства на (log(5) - log(3)) без изменения знака неравенства:

2t > (log(17) - log(49)) / (log(5) - log(3))

Теперь, давайте вычислим числовые значения логарифмов и сократим дробь:

2t > (log10(17) - log10(49)) / (log10(5) - log10(3))

2t > (1.2304489 - 1.6901961) / (0.6989700 - 0.4771213)

2t > (-0.4597472) / (0.2218487)

2t > -2.0703685

Теперь, разделим обе части неравенства на 2:

t > -1.0351842

Таким образом, все значения t, больше -1.0351842, удовлетворяют данному неравенству.

Ответ: t > -1.0351842