Question

Сумма утроенного второго и четвёртого членов арифметической прогрессии равна 50. Выясни, при каком значении разности прогрессии произведение третьего и пятого членов прогрессии будет наименьшем. Ответ: Разность прогрессии: d= ... В решении задания использовались формулы (запиши недостающие числа): 1. a1= ... - ... d; 2. f(d)= ... + ... d+ ... d2

Answer 1

Из условии $3a_2+a_4=50$. Воспользовавшись формулой n-го члена арифметической прогрессии, имеем

$3\bigg(a_1+d\bigg)+a_1+3d=50;\\ \\ 3a_1+3d+a_1+3d=50\\ \\ 4a_1+6d=50;\\ \\ 2a_1+3d=25$

Оттуда с последнего равенства выразим a1: $a_1= \dfrac{25-3d}{2}$

$a_3\cdot a_5=\bigg(a_1+2d\bigg)\bigg(a_1+4d\bigg)~~~~~~-\min~~~?$

Рассмотрим функцию $f(d)=\bigg(\dfrac{25-3d}{2} +2d\bigg)\bigg(\dfrac{25-3d}{2} +4d\bigg)= \\ \\ \\ =\dfrac{1}{4} \bigg(25-3d+4d\bigg)\bigg(25-3d+8d\bigg)= \dfrac{1}{4} \bigg(d+25\bigg)\bigg(5d+25\bigg)=\\ \\ \\ = \dfrac{1}{4} \bigg(5d^2+150d+625\bigg)= \dfrac{5d^2}{4} + \dfrac{75d}{2} + \dfrac{625}{4}$

Производная функции:

      $f'(d)=\bigg(\dfrac{5d^2}{4} + \dfrac{75d}{2} + \dfrac{625}{4} \bigg)'= \dfrac{5d}{2} + \dfrac{75}{2} \\ \\ f'(d)=0;~~~~\dfrac{5d}{2} + \dfrac{75}{2} =0\\ \\ \\ d=-15$

___-____(-15)____+_____>
Производная функции в точке d=-15 меняет знак с (-) на (+), следовательно, точка d=-15 - точка минимума

ОТВЕТ: d=-15.

В решении задания использовались формулы (запиши недостающие числа):
1. a1= an - (n-1)d; 
2. f(d)= 156,25 + 37.5 d+ 1.25 d2