Question

Решите уравнение |x+5|=|x-4| ||x|+7=8 |4x+8|+3=11 |- модуль

Answer 1

1)х+5=-х+4
2х=-1


-х+5=х-4
-2х=-9
х=4,5
2) х=1


-х=1
х=-1
3) 4х=0
х=0

-4х=0
х=0

Answer 2

Чтобы решить уравнение |x + 5| = |x - 4|, мы можем рассмотреть два случая в зависимости от значения x.

Случай 1: x ≥ -5

В этом случае модуль x + 5 будет равен просто x + 5, поскольку x + 5 уже является положительным числом или нулем. Аналогично, модуль x - 4 также будет равен x - 4. Теперь у нас есть уравнение (x + 5) = (x - 4), которое можно решить следующим образом:

x + 5 = x - 4 5 = -4

Это противоречие, которое означает, что в случае x ≥ -5 уравнение не имеет решений.

Случай 2: x < -5

В этом случае модуль x + 5 будет равен -(x + 5), так как x + 5 будет отрицательным числом. Аналогично, модуль x - 4 будет равен -(x - 4). Теперь у нас есть уравнение -(x + 5) = -(x - 4), которое можно решить следующим образом:

-(x + 5) = -(x - 4) -x - 5 = -x + 4 -5 = 4

Это также противоречие, поэтому в случае x < -5 уравнение не имеет решений.

Итак, уравнение |x + 5| = |x - 4| не имеет решений в области действительных чисел.

Теперь рассмотрим уравнение ||x| + 7| = 8. Чтобы решить это уравнение, мы снова рассмотрим два случая в зависимости от значения x.

Случай 1: x ≥ 0

В этом случае модуль |x| будет просто равен x, поскольку x уже является положительным числом или нулем. Теперь у нас есть уравнение |x + 7| = 8, которое можно решить следующим образом:

x + 7 = 8 x = 8 - 7 x = 1

Проверяем решение: ||1| + 7| = 8 |1 + 7| = 8 |8| = 8 8 = 8

Решение x = 1 подходит.

Случай 2: x < 0

В этом случае модуль |x| будет равен -x, так как x будет отрицательным числом. Теперь у нас есть уравнение |-x + 7| = 8, которое можно решить следующим образом:

-x + 7 = 8 -x = 8 - 7 -x = 1 x = -1

Проверяем решение: ||-1| + 7| = 8 |1 + 7| = 8 |8| = 8 8 = 8

Решение x = -1 также подходит.

Итак, уравнение ||x| + 7| = 8 имеет два решения: x = 1 и x = -1.

Наконец, рассмотрим уравнение |4x + 8| + 3 = 11. Чтобы решить это уравнение, мы выразим |4x + 8|:

|4x + 8| + 3 = 11 |4x + 8| = 11 - 3 |4x + 8| = 8

Теперь рассмотрим два случая в зависимости от значения 4x + 8.

Случай 1: 4x + 8 ≥ 0

В этом случае модуль |4x + 8| будет равен просто 4x + 8, так как 4x + 8 уже является положительным числом или нулем. Теперь у нас есть уравнение 4x + 8 = 8, которое можно решить следующим образом:

4x + 8 = 8 4x = 8 - 8 4x = 0 x = 0

Проверяем решение: |4(0) + 8| + 3 = 11 |0 + 8| + 3 = 11 |8| + 3 = 11 8 + 3 = 11 11 = 11

Решение x = 0 подходит.

Случай 2: 4x + 8 < 0

В этом случае модуль |4x + 8| будет равен -(4x + 8), так как 4x + 8 будет отрицательным числом. Теперь у нас есть уравнение -(4x + 8) = 8, которое можно решить следующим образом:

-(4x + 8) = 8 -4x - 8 = 8 -4x = 8 + 8 -4x = 16 x = 16 / -4 x = -4

Проверяем решение: |4(-4) + 8| + 3 = 11 |-16 + 8| + 3 = 11 |-8| + 3 = 11 8 + 3 = 11 11 = 11

Решение x = -4 также подходит.

Итак, уравнение |4x + 8| + 3 = 11 имеет два решения: x = 0 и x = -4.

В итоге, решениями системы уравнений |x + 5| = |x - 4|, ||x| + 7| = 8 и |4x + 8| + 3 = 11 являются x = 1, x = -1, x = 0 и x = -4.