Question

Вводя новые независимые переменные , преобразовать уравнение и решить его:

Answer 1

$z'_x=z'_\eta\cdot\eta'_x+z'_\xi\cdot\xi'_x=2xz'_\eta+z'_\xi$

$z'_y=z'_\eta\cdot\eta'_y+z'_\xi\cdot\xi'_y=2yz'_\eta$

 

$yz'_x- xz'_y =2xyz'_\eta+yz'_\xi-2xyz'_\eta=yz'_\xi=0$

В принципе, y=0 - решение. Поищем другие решения.

$z'_\xi=0$

$z=\varphi(\eta)=\varphi(x^2+y^2)$

Answer 2

Ввод новых независимых переменных может быть полезным в случае, когда уравнение сложно решить напрямую или имеет много переменных. Преобразовав уравнение с помощью новых переменных, мы можем упростить его и найти решение.

Для примера рассмотрим уравнение:

x^2 + 2xy + y^2 = 9

Давайте введем новую переменную z = x + y. Тогда уравнение можно записать как:

(x + y)^2 = 9

Заметим, что (x + y)^2 = z^2. Подставляя это значение в уравнение, получим:

z^2 = 9

Теперь мы имеем простое уравнение с одной переменной, которое можно решить без особых сложностей. Решение данного уравнения будет:

z = ±3

Так как мы ввели новую переменную z = x + y, мы можем использовать это решение для нахождения значений x и y. Рассмотрим два случая:

1) z = 3: Тогда x + y = 3. Мы можем выбрать какое-либо значение для x (например, x = 0), и затем найти соответствующее значение y (в данном случае y = 3). Таким образом, одно решение уравнения будет x = 0, y = 3.

2) z = -3: Тогда x + y = -3. Опять же, мы можем выбрать значение для x (например, x = 0), и затем найти соответствующее значение y (в данном случае y = -3). Таким образом, второе решение уравнения будет x = 0, y = -3.

Таким образом, уравнение x^2 + 2xy + y^2 = 9 имеет два решения: (0, 3) и (0, -3).