Question

Решить уравнение: (3x-1)³=27x³-1

Answer 1

$(3x-1)^3=27x^3-1$
$(3x)^3-3*(3x)^2*1+3*(3x)*1^2-1^3=27x^3-1$
$27x^3-27x^2+9x-1=27x^3-1$
$-27x^2+9x=0$
$3x^2-x=0$
$x(3x-1)=0$
$x=0; x_1=0$
$3x-1=0;x_2=\frac{1}{3}$
ответ: 0; 1/3

Answer 2

Чтобы решить данное уравнение, нужно привести его к форме \(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\), где \(a\), \(b\), \(c\), и \(d\) - это коэффициенты уравнения.

Начнем с раскрытия скобок в левой части уравнения: \((3x - 1)^3 = 27x^3 - 1\)

\((3x - 1)(3x - 1)(3x - 1) = 27x^3 - 1\)

Теперь можно раскрыть скобки, используя правило куба суммы:

\((9x^2 - 6x + 1)(3x - 1) = 27x^3 - 1\)

Умножим оба множителя:

\(27x^3 - 18x^2 + 3x - 3x^2 + 2x - 1 = 27x^3 - 1\)

Теперь сгруппируем подобные члены:

\(27x^3 - 21x^2 + 5x - 1 = 27x^3 - 1\)

Вычтем \(27x^3 - 1\) с обеих сторон уравнения:

\(-21x^2 + 5x - 1 = 0\)

Таким образом, исходное уравнение приводится к следующему виду:

\(-21x^2 + 5x - 1 = 0\)

Это квадратное уравнение, которое можно решить, используя квадратное уравнение. Мы можем использовать формулу дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\) и формулу для нахождения корней квадратного уравнения \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\).

Для данного уравнения, коэффициенты \(a\), \(b\), и \(c\) следующие:

\(a = -21\), \(b = 5\), \(c = -1\)

Подставим значения в формулу дискриминанта:

\(D = 5^2 - 4(-21)(-1)\)

\(D = 25 - 84\)

\(D = -59\)

Так как дискриминант отрицательный, уравнение имеет два комплексных корня.

Используя формулу для нахождения корней квадратного уравнения, получим:

\(x = \frac{-5 + \sqrt{-59}}{-42}\) и \(x = \frac{-5 - \sqrt{-59}}{-42}\)

Упрощая выражения, получаем:

\(x = \frac{5}{42} + \frac{\sqrt{59}i}{42}\) и \(x = \frac{5}{42} - \frac{\sqrt{59}i}{42}\)

Таким образом, уравнение \((3x - 1)^3 = 27x^3 - 1\) имеет два комплексных корня: \(x = \frac{5}{42} + \frac{\sqrt{59}i}{42}\) и \(x = \frac{5}{42} - \frac{\sqrt{59}i}{42}\).