Question

Если число будучи разделено на 9 дает остаток 1 или 8 то квадрат этого числа, делённый на 9, дает остаток 1. Докажите

Answer 1

Если число при делении на 9 дает остаток 1, то оно имеет вид 9k+1, где k - некоторое целое число

 

Квадрат этого числа $(9k+1)^2=(9k)^2+2*(9k)*1+1^2=81k^2+18k+1=\\ 9*9k^2+9*2k+1=9(9k^2+2k)+1$, а значит при делении на 9 даст остаток 1

 

Если число при делении на 9 дает остаток 8, то оно имеет вид 9l+1, где l - некоторое целое число

 

Квадрат этого числа $(9l+8)^2=(9l)^2+2*(9l)*8+8^2=81l^2+144l+64=\\ 9*9l^2+9*16l+7*9+1=9(9l^2+16k+7)+1$, а значит при делении на 9 даст остаток 1

Доказано

 

Answer 2

Доказательство:

Для доказательства данного утверждения, давайте предположим, что у нас есть число x, которое при делении на 9 даёт остаток 1 или 8. Мы хотим доказать, что квадрат этого числа, делённый на 9, также даёт остаток 1.

Пусть x будет таким числом, что x ≡ 1 (mod 9) или x ≡ 8 (mod 9).

Тогда мы можем записать x в виде x = 9k + r, где k - целое число, а r - остаток от деления x на 9.

Если x ≡ 1 (mod 9), то r = 1. Если x ≡ 8 (mod 9), то r = 8.

Теперь давайте возведём x в квадрат и разделим его на 9:

x^2 / 9 = (9k + r)^2 / 9 = (81k^2 + 18kr + r^2) / 9

Мы можем заметить, что каждый из членов в скобках делится на 9 без остатка, кроме r^2. Так как r = 1 или r = 8, то r^2 = 1.

Таким образом, мы можем записать:

**x^2 / 9 = (81k^2 + 18kr + r^2) / 9 = 81k^2 / 9 + 18kr / 9 + r^2 / 9 = 9k^2 +

Answer 3

Давайте рассмотрим число \( n \), которое даёт остаток 1 или 8 при делении на 9. Это можно записать следующим образом:

\[ n \equiv 1 \pmod{9} \quad \text{или} \quad n \equiv 8 \pmod{9} \]

Теперь давайте рассмотрим квадрат этого числа \( n \) и поделим его на 9:

\[ \frac{n^2}{9} \]

Мы хотим доказать, что остаток от деления этого выражения также равен 1. Рассмотрим два случая:

1. Пусть \( n \equiv 1 \pmod{9} \):

В этом случае, мы можем представить \( n \) как \( 9k + 1 \), где \( k \) - целое число. Тогда квадрат этого числа будет:

\[ n^2 = (9k + 1)^2 = 81k^2 + 18k + 1 \]

Теперь поделим \( n^2 \) на 9:

\[ \frac{n^2}{9} = \frac{81k^2 + 18k + 1}{9} = 9k^2 + 2k + \frac{1}{9} \]

Заметим, что первые два члена являются целыми числами, и остаток от деления на 9 равен \( \frac{1}{9} \). Следовательно, остаток от деления \( \frac{n^2}{9} \) равен 1.

2. Пусть \( n \equiv 8 \pmod{9} \):

В этом случае, мы можем представить \( n \) как \( 9k + 8 \), где \( k \) - целое число. Тогда квадрат этого числа будет:

\[ n^2 = (9k + 8)^2 = 81k^2 + 144k + 64 \]

Теперь поделим \( n^2 \) на 9:

\[ \frac{n^2}{9} = \frac{81k^2 + 144k + 64}{9} = 9k^2 + 16k + \frac{64}{9} \]

Заметим, что первые два члена являются целыми числами, и остаток от деления на 9 равен \( \frac{64}{9} \). Следовательно, остаток от деления \( \frac{n^2}{9} \) также равен 1.

Таким образом, в обоих случаях мы получаем, что квадрат числа \( n \), которое даёт остаток 1 или 8 при делении на 9, также даёт остаток 1 при делении на 9.