Question

1.найти первую производную у=arctg e ^2x+ln(корень((е^2х )+1)/(е^2х -1)) 2.Найти неопределенные интегралы. Результат проверить дифференцированием | (dx) / x (3ln x+5)

Answer 1

$1)\; \; y=arctge^{2x}+ln \sqrt{\frac{e^{2x}+1}{e^{2x}-1} }\\\\y'=\frac{1}{1+(e^{2x})^2}\cdot 2e^{2x}+\sqrt{\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}\cdot \frac{1}{2}\cdot \sqrt{ \frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}\cdot \frac{2e^{2x}(e^{2x}-1)-2e^{2x}(e^{2x}+1)}{(e^{2x}-1)^2}=\\\\= \frac{2e^{2x}}{1+e^{4x}}-\frac{e^{2x}-1}{2(e^{2x}+1)}\cdot \frac{-4e^{2x}}{(e^{2x}-1)^2}= \frac{2e^{2x}}{1+e^{4x}}-\frac{2e^{2x}}{e^{4x}-1}= -\frac{4e^{2x}}{e^{8x}-1}$

$2)\; \; \int \frac{dx}{x(3lnx+5)} =\int \Big (\frac{1}{3lnx+5}\cdot \frac{dx}{x}\Big )=\Big [\; t=3lnx+5\; ,\; dt=\frac{3\cdot dx}{x}\; \Big ]=\\\\=\frac{1}{3}\cdot \int \frac{dt}{t}= \frac{1}{3}\cdot ln|t|+C= \frac{1}{3}\cdot ln|3lnx+5|+C;\\\\\\(\frac{1}{3}\cdot ln|3lnx+5|+C)'= \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3lnx+5}\cdot 3\cdot \frac{1}{x}+0= \frac{1}{x(3lnx+5)} \; .$

Answer 2

Конечно, давай начнем с первой задачи.

Поиск первой производной \( y = \arctan(e^{2x} \ln\left(\frac{\sqrt{e^{2x} + 1}}{e^{2x} - 1}\right) + 2 \)

Для того чтобы найти производную этой функции, применим цепное правило дифференцирования (chain rule) и правила дифференцирования сложной функции.

Пусть \( u = e^{2x} \), \( v = \ln\left(\frac{\sqrt{e^{2x} + 1}}{e^{2x} - 1}\right) \), тогда:

\[ y = \arctan(uv + 2) \]

1. Найдем производную \( u \): \[ \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} e^{2x} = 2e^{2x} \]

2. Теперь найдем производную \( v \): \[ v = \ln\left(\frac{\sqrt{e^{2x} + 1}}{e^{2x} - 1}\right) \]

Для начала выразим \( v \) как \[ v = \ln\left(\frac{\sqrt{u + 1}}{u - 1}\right) \]

Продифференцируем \( v \) по \( u \) с учетом правила частной производной: \[ \frac{dv}{du} = \frac{1}{\frac{\sqrt{u + 1}}{u - 1}} \cdot \frac{d}{du} \left(\frac{\sqrt{u + 1}}{u - 1}\right) \] Для упрощения давайте найдем производную \( \frac{\sqrt{u + 1}}{u - 1} \): \[ \frac{d}{du} \left(\frac{\sqrt{u + 1}}{u - 1}\right) = \frac{(u - 1) \cdot \frac{d}{du}(\sqrt{u + 1}) - \sqrt{u + 1} \cdot \frac{d}{du}(u - 1)}{(u - 1)^2} \] \[ = \frac{(u - 1) \cdot \frac{1}{2\sqrt{u + 1}} \cdot \frac{d}{du}(u + 1) - \sqrt{u + 1}}{(u - 1)^2} \] \[ = \frac{(u - 1) \cdot \frac{1}{2\sqrt{u + 1}} \cdot 1 - \sqrt{u + 1}}{(u - 1)^2} \] \[ = \frac{(u - 1) - 2(u - 1)}{2(u - 1)\sqrt{u + 1}} \] \[ = \frac{-u + 1}{2(u - 1)\sqrt{u + 1}} \]

Подставим это обратно в \( \frac{dv}{du} \): \[ \frac{dv}{du} = \frac{1}{\frac{\sqrt{u + 1}}{u - 1}} \cdot \frac{-u + 1}{2(u - 1)\sqrt{u + 1}} \] \[ = \frac{-u + 1}{2(u - 1)\sqrt{u + 1}} \cdot \frac{u - 1}{\sqrt{u + 1}} \] \[ = \frac{-u + 1}{2(u - 1)(u + 1)} \]

3. Теперь применим цепное правило для \( y \):

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \arctan(uv + 2) \] \[ = \frac{1}{1 + (uv + 2)^2} \cdot (\frac{du}{dx}v + u\frac{dv}{dx}) \] \[ = \frac{1}{1 + (e^{2x} \ln\left(\frac{\sqrt{e^{2x} + 1}}{e^{2x} - 1}\right) + 2)^2} \cdot (2e^{2x} \cdot \ln\left(\frac{\sqrt{e^{2x} + 1}}{e^{2x} - 1}\right) + e^{2x} \cdot \frac{-e^{2x} + 1}{2(e^{2x} - 1)(e^{2x} + 1)}) \]

Поиск неопределенных интегралов \( \int \frac{dx}{x(3\ln x + 5)} \)

Для нахождения неопределенного интеграла, представим интеграл в виде: \[ \int \frac{dx}{x(3\ln x + 5)} = \int \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{3\ln x + 5} \, dx \]

Проведем замену переменной: \( u = 3\ln x + 5 \), откуда \( du = \frac{3}{x} \, dx \):

\[ \int \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{3\ln x + 5} \, dx = \frac{1}{3} \int \frac{1}{u} \, du \] \[ = \frac{1}{3} \ln |u| + C \] \[ = \frac{1}{3} \ln |3\ln x + 5| + C \]

Проверим результат, взяв производную от полученной функции:

\[ \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{3} \ln |3\ln x + 5| + C \right) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3\ln x + 5} \cdot 3 \cdot \frac{1}{x} \] \[ = \frac{1}{x(3\ln x + 5)} \]

Таким образом, интеграл был найден верно.