Question

Помогите: Ctg (3x+pi/4)=-1

Answer 1

Ctg (3x+pi/4)= -1
3x + π/4 = - π/4 + πk, k∈Z
3x = -π/2 + πk, k∈z
x = -π/6 + (πk)/3, k ∈z

Answer 2

Для решения данного уравнения, нужно найти значение x, при котором ctg(3x + pi/4) = -1.

Первым шагом заменим ctg на 1/tg, так как ctg(x) равно 1/tg(x).

1/tg(3x + pi/4) = -1

Теперь возьмем обратную функцию от обеих сторон уравнения, получим:

tg(3x + pi/4) = -1

Тангенс функции равен отношению противоположной катета к прилежащему катету прямоугольного треугольника. Из этого следует, что tg(x) будет равен отношению sin(x) к cos(x). Таким образом, уравнение можно переписать следующим образом:

sin(3x + pi/4) / cos(3x + pi/4) = -1

Применим трюк с тангенсом суммы:

sin(3x) * cos(pi/4) + cos(3x) * sin(pi/4) = -1 * cos(3x) * cos(pi/4)

sqrt(2) * sin(3x) + sqrt(2) * cos(3x) = -sqrt(2) * cos(3x)

Теперь сократим обе части уравнения на sqrt(2):

sin(3x) + cos(3x) = -cos(3x)

Теперь вычтем cos(3x) из обеих частей уравнения:

sin(3x) = -2 * cos(3x)

Мы знаем, что sin(3x) / cos(3x) = tg(3x). Поэтому можем запиыать:

tg(3x) = -2

Теперь найдем обратную функцию tg(y) = 1/tg(y), чтобы избавиться от функции tg:

1/tg(3x) = -1/2

Тангенс равен отношению sin к cos:

cos(3x) / sin(3x) = -1/2

Умножим обе части уравнения на sin(3x):

cos(3x) = -1/2 * sin(3x)

Теперь возведем обе части в квадрат:

cos^2(3x) = 1/4 * sin^2(3x)

Заменим cos^2(3x) на (1 - sin^2(3x)):

1 - sin^2(3x) = 1/4 * sin^2(3x)

Перенесем все в одну часть уравнения:

0 = 1/4 * sin^2(3x) + sin^2(3x) - 1

0 = 5/4 * sin^2(3x) - 1

Теперь добавим 1 к обеим сторонам уравнения:

1 = 5/4 * sin^2(3x)

Умножим обе части уравнения на 4/5:

4/5 = sin^2(3x)

Возьмем квадратный корень от обеих сторон:

sqrt(4/5) = sin(3x)

sqrt(4)/sqrt(5) = sin(3x)

2/sqrt(5) = sin(3x)

Теперь найдем обратную функцию sin(y) = arcsin(y), чтобы избавиться от функции sin:

3x = arcsin(2/sqrt(5))

Теперь поделим обе части уравнения на 3:

x = (1/3) * arcsin(2/sqrt(5))

Итак, значение x равно (1/3) * arcsin(2/sqrt(5)).

Обратите внимание, что этот ответ подразумевает, что x находится в границах допустимого значения arcsin, которое обычно варьируется от -pi/2 до pi/2.