Question

В геометрической пргресси разность четвертого и второгоч членов равна 18 а разность пятого и третьего членов 36 найти b1 и q

Answer 1

Q=2 а b1=3
надо составить уравнения

Answer 2

Геометрическая прогрессия

Для решения данной задачи о геометрической прогрессии, нам даны две разности: разность между четвертым и вторым членами равна 18, а разность между пятым и третьим членами равна 36. Нам нужно найти первый член (b1) и знаменатель (q) прогрессии.

Решение

Используем формулы для геометрической прогрессии:

1. Разность между четвертым и вторым членами равна 18:

\(b_4 - b_2 = 18\).

2. Разность между пятым и третьим членами равна 36:

\(b_5 - b_3 = 36\).

Нахождение b1 и q

Для нахождения первого члена (b1) и знаменателя (q) геометрической прогрессии, мы можем использовать систему уравнений, составленную из двух уравнений, полученных из разностей:

1. \(b_4 - b_2 = 18\) 2. \(b_5 - b_3 = 36\)

Решим эту систему уравнений:

Из первого уравнения получаем:

\(b_4 = b_2 + 18\)

Из второго уравнения получаем:

\(b_5 = b_3 + 36\)

Теперь подставим значения \(b_4\) и \(b_5\) в формулу для геометрической прогрессии:

\(b_2 \cdot q^2 = (b_2 + 18) \cdot q^3\) - уравнение 1 \(b_3 \cdot q^2 = (b_3 + 36) \cdot q^3\) - уравнение 2

Разделим уравнение 1 на уравнение 2:

\(\frac{{b_2 \cdot q^2}}{{b_3 \cdot q^2}} = \frac{{b_2 + 18}}{{b_3 + 36}}\)

Упростим:

\(\frac{{b_2}}{{b_3}} = \frac{{b_2 + 18}}{{b_3 + 36}}\)

Раскроем скобки:

\(b_2 \cdot b_3 + 36 \cdot b_2 = b_2 \cdot b_3 + 18 \cdot b_3\)

Упростим:

\(36 \cdot b_2 = 18 \cdot b_3\)

Делим обе части на 18:

\(2 \cdot b_2 = b_3\)

Теперь мы знаем, что \(b_3 = 2 \cdot b_2\).

Нахождение b1

Для нахождения первого члена (b1) геометрической прогрессии, мы можем использовать формулу:

\(b_3 = b_1 \cdot q^2\)

Подставим значение \(b_3 = 2 \cdot b_2\) и \(q = \frac{b_2}{b_1}\) (из формулы \(b_2 = b_1 \cdot q\)):

\(2 \cdot b_2 = b_1 \cdot \left(\frac{b_2}{b_1}\right)^2\)

Упростим:

\(2 \cdot b_2 = b_1 \cdot \frac{b_2^2}{b_1^2}\)

Упростим:

\(2 \cdot b_2 = \frac{b_2^2}{b_1}\)

Умножим обе части на \(b_1\):

\(2 \cdot b_1 \cdot b_2 = b_2^2\)

Теперь мы знаем, что \(2 \cdot b_1 \cdot b_2 = b_2^2\).

Решение системы уравнений

Теперь у нас есть два уравнения:

1. \(2 \cdot b_2 = b_2^2\) 2. \(2 \cdot b_2 = b_3\)

Решим систему уравнений:

Из уравнения 1 получаем:

\(b_2^2 - 2 \cdot b_2 = 0\)

Факторизуем:

\(b_2 \cdot (b_2 - 2) = 0\)

Таким образом, у нас есть два возможных значения для \(b_2\):

1. \(b_2 = 0\) 2. \(b_2 = 2\)

Если \(b_2 = 0\), то \(b_3 = 0\) и \(b_1 = 0\).

Если \(b_2 = 2\), то \(b_3 = 4\) и \(b_1 = 1\) (используя \(b_3 = 2 \cdot b_2\)).

Таким образом, мы получаем два возможных решения:

1. \(b_1 = 0\), \(b_2 = 0\), \(b_3 = 0\), \(q = 0\) 2. \(b_1 = 1\), \(b_2 = 2\), \(b_3 = 4\), \(q = 2\)

Ответ

Таким образом, мы получаем два возможных решения для первого члена (b1) и знаменателя (q) геометрической прогрессии:

1. Решение 1: \(b_1 = 0\), \(q = 0\) 2. Решение 2: \(b_1 = 1\), \(q = 2\)

Обратите внимание, что в первом решении геометрическая прогрессия будет состоять из одного и того же числа (0), что не является типичным случаем геометрической прогрессии. Поэтому более вероятным решением является второе решение, где \(b_1 = 1\) и \(q = 2\).

Ответ: b1 = 1, q = 2