Question

Помогите решить 2 системы уравнений.1)x^2-y^2=9x-y=12)x^2+y^2=13xy=6

Answer 1

1 система:
1) x^2-y^2=9
   x-y=1
   1. x=1+y
   2. (1+y)^2-y^2=9 
       1+2y+y^2-y^2=9
       1+2y=9
       2y=8
       y=4
  3. x=1+y. x=1+4=5 
                       Ответ: (5;4)

2 система:
1) x^2+y^2=13
   xy=6
   1. x=6/y
   2. (6/y)^2 + y^2 = 13
       36/y^2 + y^2 = 13 (обе части умножаем на y^2, y не равен нулю)
       36+y^4 = 13y^2
       y^4-13y^2+36=0
       y^2=t
       t^2-13t+36=0
      D=25
      t1=9
      t2=4 

      y^2=9, y1=3, y2= - 3
      y^2=4, y3=2, y4= - 2

   3. x=6/y. x1=2, x2= -2, x3=3. x4= - 3. 

                    Ответ: (2;3) (-2;-3) (3;2) (-3;-2) 
      

Answer 2

Для решения данной системы уравнений, давайте последовательно рассмотрим каждую из них.

Система уравнений: 1. \(x^2 - y^2 = 9\) 2. \(x^2 + y^2 = 13\) 3. \(xy = 6\)

Давайте начнем с уравнения \(xy = 6\). Мы можем использовать это уравнение для выражения одной переменной через другую. Поскольку \(xy = 6\), мы можем выразить, например, \(y\) через \(x\): \(y = \frac{6}{x}\).

Теперь подставим это выражение для \(y\) в первое уравнение системы: \(x^2 - \left(\frac{6}{x}\right)^2 = 9\). Решим это уравнение.

1. \(x^2 - \frac{36}{x^2} = 9\) 2. Умножим обе стороны на \(x^2\) чтобы избавиться от дроби: \(x^4 - 36 = 9x^2\) 3. \(x^4 - 9x^2 - 36 = 0\)

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно \(x^2\). Решим его. Пусть \(u = x^2\).

1. \(u^2 - 9u - 36 = 0\) 2. \((u - 12)(u + 3) = 0\)

Таким образом, у нас есть два возможных значения для \(u\): \(u = 12\) или \(u = -3\).

Если \(u = 12\), то \(x^2 = 12\), отсюда \(x = \pm 2\sqrt{3}\). Подставим это значение обратно в уравнение \(xy = 6\) и найдем соответствующие значения \(y\):

1. При \(x = 2\sqrt{3}\): \(y = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \sqrt{3}\) 2. При \(x = -2\sqrt{3}\): \(y = \frac{6}{-2\sqrt{3}} = -\sqrt{3}\)

Таким образом, одно из решений: \((x, y) = (2\sqrt{3}, \sqrt{3})\) и \((x, y) = (-2\sqrt{3}, -\sqrt{3})\).

Если \(u = -3\), то \(x^2 = -3\), что не имеет действительных решений. Поэтому отбрасываем это значение.

Таким образом, у нас есть два действительных решения для системы уравнений:

1. \((x, y) = (2\sqrt{3}, \sqrt{3})\) 2. \((x, y) = (-2\sqrt{3}, -\sqrt{3})\)

Эти значения удовлетворяют обоим уравнениям системы.