Question

ПОМОГИ ПАЖАЛУЙСТА Найдите все натуральные числа,делющиеся на 5 и на 9 , имеющие ровно 10 делителей (включая единицу и само число) НАйдите последние две цифры числа 7^2013

Answer 1

90 : 1 2 3 5 9 10 18 30 45 90
7^2013 последний две цифры 07

Answer 2

Давайте рассмотрим задачу шаг за шагом.

1. Натуральные числа, делящиеся на 5 и на 9 с ровно 10 делителями: Для того чтобы у числа было ровно 10 делителей, оно должно быть представимо в виде произведения двух простых чисел или быть кубом простого числа.

- Произведение двух простых чисел: Пусть \( p \) и \( q \) - два простых числа. Тогда число с 10 делителями имеет вид \( p^4 \cdot q^1 \) (5 делителей от \( p^4 \) и 2 делителя от \( q^1 \)). - Куб простого числа: Пусть \( p \) - простое число. Тогда число с 10 делителями имеет вид \( p^9 \) (10 делителей, все от \( p^9 \)).

2. Числа, делящиеся на 5 и на 9 с ровно 10 делителями: - Если рассматривать произведение двух простых чисел, то возможны варианты: - \( p^4 \cdot q^1 \), где \( p \) и \( q \) - простые числа. - Если рассматривать куб простого числа, то возможен вариант: - \( p^9 \), где \( p \) - простое число.

3. Найдем простые числа \( p \) и \( q \), удовлетворяющие условиям: - \( p^4 \cdot q^1 \) должно делиться на 5 и 9. Это возможно, если \( p = 3 \) и \( q = 5 \). - Таким образом, одним из чисел, удовлетворяющих условиям, является \( 3^4 \cdot 5^1 = 405 \).

Итак, одно из чисел - 405.

4. Найдем последние две цифры числа \( 7^{2013} \): - Для нахождения последних двух цифр числа \( a^n \), где \( a \) - число, \( n \) - степень, можно воспользоваться цикличностью последних двух цифр. - Найдем остаток от деления \( 2013 \) на период цикла для числа \( 7 \). Период цикла для последних двух цифр числа \( 7^n \) равен 20. - \( 2013 \mod 20 = 13 \), следовательно, мы ищем последние две цифры числа \( 7^{13} \). - \( 7^{13} = 7 \times (7^2)^6 = 7 \times 49^6 \). - \( 49^6 \) имеет последние две цифры \( 01 \) (так как цикл равен 2). - Таким образом, последние две цифры числа \( 7^{2013} \) равны последним двум цифрам произведения \( 7 \times 01 = 07 \).

Итак, у нас есть одно число, удовлетворяющее условиям (405), и последние две цифры числа \( 7^{2013} \) равны 07.