Question

Помогите прошу вас. Укажите посторонние корни уравнения 1)x^4+7x^2+10=0 2)2y^4-5y^2-7=0 6)x^4-(9a^2+4)x^2+36a^2=0

Answer 1

1) х²=а
а²+7а+10=0
а=5 а=2 ( найдешь по теореме виета)
х²=5
х=+-√5
х=+-√2

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое уравнение по отдельности:

1) \(x^4 + 7x^2 + 10 = 0\)

Это уравнение квадратное относительно \(x^2\), и его можно решить, представив его в виде квадратного уравнения относительно переменной \(x^2\):

Пусть \(y = x^2\), тогда уравнение примет вид:

\[y^2 + 7y + 10 = 0\]

Решим это квадратное уравнение. Факторизация даст нам:

\[(y + 5)(y + 2) = 0\]

Отсюда следует, что \(y = -5\) или \(y = -2\). Теперь вернемся к переменной \(x^2\):

1.1) Если \(y = x^2 = -5\), то нет реальных корней, так как квадрат от любого вещественного числа не может быть отрицательным. 1.2) Если \(y = x^2 = -2\), то \(x^2 = -2\), что также не имеет реальных корней, так как квадрат от любого вещественного числа не может быть отрицательным.

Таким образом, уравнение \(x^4 + 7x^2 + 10 = 0\) не имеет реальных корней.

2) \(2y^4 - 5y^2 - 7 = 0\)

Это уравнение квадратное относительно \(y^2\), и его можно решить, представив его в виде квадратного уравнения относительно переменной \(y^2\):

Пусть \(z = y^2\), тогда уравнение примет вид:

\[2z^2 - 5z - 7 = 0\]

Решим это квадратное уравнение. Факторизация даст нам:

\[(2z + 1)(z - 7) = 0\]

Отсюда следует, что \(z = -1/2\) или \(z = 7\). Теперь вернемся к переменной \(y^2\):

2.1) Если \(z = y^2 = -1/2\), то нет реальных корней, так как квадрат от любого вещественного числа не может быть отрицательным.

2.2) Если \(z = y^2 = 7\), то \(y^2 = 7\), что означает \(y = \pm\sqrt{7}\).

Таким образом, уравнение \(2y^4 - 5y^2 - 7 = 0\) имеет два реальных корня: \(y = \sqrt{7}\) и \(y = -\sqrt{7}\).

3) \(x^4 - (9a^2 + 4)x^2 + 36a^2 = 0\)

Это уравнение квадратное относительно \(x^2\). Пусть \(z = x^2\), тогда уравнение примет вид:

\[z^2 - (9a^2 + 4)z + 36a^2 = 0\]

Давайте проверим дискриминант этого уравнения:

\[\Delta = (9a^2 + 4)^2 - 4 \cdot 36a^2\]

\[\Delta = 81a^4 + 72a^2 + 16 - 144a^2\]

\[\Delta = 81a^4 - 72a^2 + 16\]

Этот дискриминант должен быть неотрицательным для существования реальных корней. Поэтому:

\[81a^4 - 72a^2 + 16 \geq 0\]

Теперь решим это неравенство. Для удобства введем замену: \(u = a^2\). Тогда:

\[81u^2 - 72u + 16 \geq 0\]

Это квадратное неравенство имеет два решения:

\[u \leq \frac{8}{9} \quad \text{или} \quad u \geq 1\]

Теперь вернемся к переменной \(a^2\):

\[a^2 \leq \frac{8}{9} \quad \text{или} \quad a^2 \geq 1\]

Таким образом, корни уравнения \(x^4 - (9a^2 + 4)x^2 + 36a^2 = 0\) существуют, если \(a\) удовлетворяет условиям:

\[a^2 \leq \frac{8}{9} \quad \text{или} \quad a^2 \geq 1\]