Question

1) решить уравнение 4(sin4x - sin2x) = sinx(4cos²3x+3)2)укажите корни этого уравнения принадлежащие отрезку [0; 3п/2]

Answer 1

4(sin 4x - sin 2x) = sin x*(4cos^2 (3x) + 3)
По формуле разности синусов
$sin(4x)-sin(2x)=2sin \frac{4x-2x}{2}*cos \frac{4x+2x}{2} =2sin(x)*cos(3x)$
Подставляем
8sin x*cos(3x) = sin x*(4cos^2 (3x) + 3)
1) sin x = 0; x = pi*k; в промежуток попадают корни x1 = 0; x2 = pi
2) 4cos^2 (3x) - 8cos (3x) + 3 = 0
Квадратное уравнение относительно cos 3x
D/4 = 4^2 - 4*3 = 16 - 12 = 4 = 2^2

cos (3x)1 = (4 - 2)/4 = 1/2
x = +-1/3*(Π/3 + 2pi*n) = +-Π/9 + 2Π/3*n
В промежуток попадают корни
x3 = Π/9; x4 = 7Π/9; x5 = 11Π/9; x6 = 13Π/9

cos (3x)2 = (4 + 2)/4 = 6/4 > 1
Решений нет.

Ответ: а) x1 = pi*k; x2 = +-Π/9 + 2Π/3*n
б) 0; Π; Π/9; 7Π/9; 11Π/9; 13Π/9

Answer 2

Давайте решим уравнение:

\[4(\sin(4x) - \sin(2x)) = \sin(x)(4\cos^2(3x) + 3)\]

1. Используем тригонометрические тождества для упрощения уравнения.

\[4(\sin(4x) - \sin(2x)) = \sin(x)(4\cos^2(3x) + 3)\]

\[4(2\sin(2x)\cos(2x) - 2\sin(x)\cos(x)) = \sin(x)(4\cos^2(3x) + 3)\]

\[4 \cdot 2\sin(2x)\cos(2x) - 4 \cdot 2\sin(x)\cos(x) = \sin(x)(4\cos^2(3x) + 3)\]

\[8\sin(4x) - 8\sin(2x) = \sin(x)(4\cos^2(3x) + 3)\]

2. Разложим \(8\sin(4x)\) и \(8\sin(2x)\) с использованием тригонометрических формул:

\[2(4\sin(4x)) - 2(4\sin(2x)) = \sin(x)(4\cos^2(3x) + 3)\]

\[8\sin(4x) - 8\sin(2x) = \sin(x)(4\cos^2(3x) + 3)\]

3. Перенесем все члены уравнения на одну сторону:

\[8\sin(4x) - 8\sin(2x) - \sin(x)(4\cos^2(3x) + 3) = 0\]

4. Используем тригонометрические тождества для дальнейшего упрощения:

\[8(2\sin(2x)\cos(2x)) - 8(2\sin(x)\cos(x)) - \sin(x)(4\cos^2(3x) + 3) = 0\]

\[16\sin(2x)\cos(2x) - 16\sin(x)\cos(x) - \sin(x)(4\cos^2(3x) + 3) = 0\]

\[16\sin(2x)\cos(2x) - 16\sin(x)\cos(x) - \sin(x)(4\cos^2(3x) + 3) = 0\]

5. Факторизуем уравнение:

\[\sin(x)(16\cos(2x)\sin(2x) - 16\cos(x) - 4\cos^2(3x) - 3) = 0\]

Заметим, что \(\sin(x)\) является общим множителем. Рассмотрим два случая:

a. \(\sin(x) = 0\)

Это приводит к решению \(x = 0\) на интервале \([0, 3\pi/2]\).

b. \(16\cos(2x)\sin(2x) - 16\cos(x) - 4\cos^2(3x) - 3 = 0\)

Второй множитель также можно рассмотреть отдельно. Для удобства обозначим \(y = \cos(x)\):

\[16\cos(2x)\sin(2x) - 16\cos(x) - 4\cos^2(3x) - 3 = 16(2y(1-y^2) - y) - 4(1-3y^2)^2 - 3 = 0\]

Упростим:

\[32y - 32y^3 - 4(1-3y^2)^2 - 3 = 0\]

Решение этого уравнения может быть сложным, и, возможно, потребуется численные методы для нахождения корней.

6. Теперь мы имеем два случая:

a. \(x = 0\) (решение из первого множителя).

b. Решения уравнения \(16\cos(2x)\sin(2x) - 16\cos(x) - 4\cos^2(3x) - 3 = 0\).

Последний шаг потребует использования численных методов для решения трансцендентного уравнения, чтобы найти корни на интервале \([0, 3\pi/2]\).