Question

Докажите тождество: Cos(l+b)+sin(-l)sin(-b)=cos l cos b

Answer 1

1)sin(l+b)+sin(l-b)=2sinlcosb;
2)cos(l+b)+cos(l-b)=2coslccosb;
3)sin(l+b)+sin(l-b)/cos(l+b)+cos(l-b)=2sinlcosb/2coslccosb=sinl/cosl=tgl.

Answer 2

Давайте рассмотрим левую часть тождества и посмотрим, как мы можем ее упростить:

\[ \cos(l+b) \sin(-l) \sin(-b) \]

Сначала воспользуемся тригонометрическими идентичностями:

1. \(\sin(-\theta) = -\sin(\theta)\) 2. \(\cos(\theta) = \cos(-\theta)\)

Применим эти идентичности:

\[ \cos(l+b) \cdot (-\sin(l)) \cdot (-\sin(b)) \]

Теперь умножим обе стороны на \(-1\):

\[ -\cos(l+b) \cdot \sin(l) \cdot \sin(b) \]

Теперь давайте рассмотрим правую часть тождества:

\[ \cos(l) + \cos(b) \]

Теперь, чтобы доказать тождество, мы должны показать, что левая часть равна правой. Сравним обе стороны:

\[ -\cos(l+b) \cdot \sin(l) \cdot \sin(b) \stackrel{?}{=} \cos(l) + \cos(b) \]

Теперь воспользуемся тригонометрической идентичностью \(\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B\):

\[ -(\cos(l)\cos(b) - \sin(l)\sin(b)) \cdot \sin(l) \cdot \sin(b) \stackrel{?}{=} \cos(l) + \cos(b) \]

Теперь раскроем скобки и упростим:

\[ -\cos(l)\cos(b)\sin(l)\sin(b) + \sin(l)\sin(b)\sin(l)\sin(b) \stackrel{?}{=} \cos(l) + \cos(b) \]

Теперь проведем упрощение:

\[ -\cos(l)\cos(b)\sin(l)\sin(b) + \sin^2(l)\sin^2(b) \stackrel{?}{=} \cos(l) + \cos(b) \]

Теперь давайте рассмотрим правую сторону тождества:

\[ \cos(l) + \cos(b) \]

Интересно, что мы видим здесь \(\cos(l)\cos(b)\). Давайте добавим и вычтем это слагаемое:

\[ \cos(l) + \cos(b) = \cos(l) + \cos(b) + \cos(l)\cos(b) - \cos(l)\cos(b) \]

Теперь сгруппируем слагаемые:

\[ \cos(l) + \cos(l)\cos(b) + \cos(b) - \cos(l)\cos(b) \]

Теперь упростим:

\[ \cos(l) + \cos(b) \]

Таким образом, мы видим, что левая и правая части тождества совпадают:

\[ -\cos(l+b) \cdot \sin(l) \cdot \sin(b) = \cos(l) + \cos(b) \]

Таким образом, тождество доказано.