Question

Докажите что n^4 - 4n^3 - 4n^2 + 16n, где n - натуральное число, кратное 2 и больше 4, делится на 384

Answer 1

Так как это олимпиада, соизвольте сделать ее сами! Ведь следующий тур будет уже очным (если пройдете конечно)! Удачи вам в олимпиаде Леманского!

Answer 2

Для доказательства того, что выражение n^4 - 4n^3 - 4n^2 + 16n, где n - натуральное число, кратное 2 и больше 4, делится на 384, мы можем воспользоваться методом математической индукции.

Базовый шаг:

Для n = 4, выражение принимает значение: 4^4 - 4 * 4^3 - 4 * 4^2 + 16 * 4 = 256 - 256 - 64 + 64 = 0.

Предположение индукции:

Предположим, что для некоторого k, выражение n^4 - 4n^3 - 4n^2 + 16n делится на 384, где n = 2k и n > 4.

Индукционный шаг:

Докажем, что выражение также делится на 384 для n = 2(k + 1).

Раскроем выражение для n = 2(k + 1): (2(k + 1))^4 - 4(2(k + 1))^3 - 4(2(k + 1))^2 + 16(2(k + 1)).

Вынесем общий множитель 2^4: 16 * (k + 1)^4 - 4 * 8 * (k + 1)^3 - 4 * 4 * (k + 1)^2 + 16 * 2 * (k + 1).

Упростим: 16(k + 1)^4 - 32(k + 1)^3 - 16(k + 1)^2 + 32(k + 1).

Раскроем скобки: 16(k^4 + 4k^3 + 6k^2 + 4k + 1) - 32(k^3 + 3k^2 + 3k + 1) - 16(k^2 + 2k + 1) + 32(k + 1).

Упростим: 16k^4 + 64k^3 + 96k^2 + 64k + 16 - 32k^3 - 96k^2 - 96k - 32 - 16k^2 - 32k - 16 + 32k + 32.

Сократим подобные слагаемые: 16k^4 + 32k^3 - 16k^2 + 32.

Мы видим, что выражение 16k^4 + 32k^3 - 16k^2 + 32 делится на 16, так как каждое слагаемое содержит множитель 16.

Теперь докажем, что выражение делится на 24. Разделим каждое слагаемое на 8: 2k^4 + 4k^3 - 2k^2 + 4.

Мы видим, что выражение 2k^4 + 4k^3 - 2k^2 + 4 делится на 2, так как каждое слагаемое содержит множитель 2.

Также, выражение делится на 3, так как сумма всех коэффициентов (2 + 4 - 2 + 4 = 8) делится на 3.

Таким образом, мы доказали, что выражение n^4 - 4n^3 - 4n^2 + 16n, где n - натуральное число, кратное 2 и больше 4, делится на 384.