Question

Решить неравенство: 1) х⁴+4х²-5/ x²+5x+6 ≤ 0 2)x⁴-2x²-8/ x⁴-2x²-3 > 0

Answer 1

1) (х⁴+4х²-5)/ (x²+5x+6) ≤ 0
x²=a
4a²+a-3=0
D=1+48=49
a1=(-1-7)/8=-1 ⇒x²=-1 U  a2=(-1+7)/8=0,75⇒x²=3/4⇒x=-√3/2 U x=√3/2
x1+x2=-5 U x1*x2=6⇒x1=-3 U x2=-2
          +                  _                +                  _                +
-------------(-3)-------------(-2)----------[-√3/2]---------[√3/2]---------------
x∈(-3;-2) U [-√3/2;√3/2]

2)(x⁴-2x²-8)/ (x⁴-2x²-3) > 0
x²=a
a²-2a-8=0
a1=a2=2 U a1*a2=-8
a1=-2⇒x²=-2 U a2=4⇒x²=4⇒x=-2 U x=2
x²=b
b²-2b-3=0
b1=b2=2 U b1*b2=-3
b1=-1⇒x²=-1 U b2=3⇒x=-√3 U x=√3
          +                  _                +                  _                +
-------------(-2)-------------(-√3)----------(√3)---------(2)---------------
x∈(-∞;-2) U (-√3;√3) U (2;∞)

Answer 2

Для решения неравенства, давайте рассмотрим его по частям.

Решение неравенства 1:

Дано неравенство:

(1) х⁴ + 4х² - 5 / x² + 5x + 6 ≤ 0

Для начала, приведем неравенство к общему знаменателю и упростим его:

(2) (x⁴ + 4х² - 5) / (x² + 5x + 6) ≤ 0

Теперь, давайте разложим числитель и знаменатель на множители:

(3) (x² - 1)(x² + 5) / ((x + 3)(x + 2)) ≤ 0

Теперь, найдем значения x, при которых числитель и знаменатель равны нулю:

Для числителя: - x² - 1 = 0 - x² = 1 - x = ±1

Для знаменателя: - x + 3 = 0 - x = -3 - x + 2 = 0 - x = -2

Таким образом, у нас есть следующие критические точки: x = -3, x = -2, x = -1, x = 1.

Теперь, построим таблицу знаков для каждого множителя в неравенстве (3), используя критические точки:

|x|-∞|-3|-2|-1|1|+∞| |-|-|-|-|-|-|-| |x² - 1|−|0|+|+|+|+| |x² + 5|+|+|+|+|+|+| |x + 3|−|−|−|−|−|−| |x + 2|−|−|0|+|+|+| |Неравенство|≥|≤|≥|≤|≥|≤|

Теперь, чтобы определить знак неравенства (≤ или ≥), мы смотрим на знаки в каждой области. Затем, чтобы определить интервалы, в которых неравенство выполняется, мы смотрим на знаки между критическими точками.

Таким образом, решение неравенства (1) будет следующим:

(4) -∞ < x ≤ -2, -1 ≤ x < 1

Решение неравенства 2:

Дано неравенство:

(5) x⁴ - 2x² - 8 / x⁴ - 2x² - 3 > 0

Аналогично, приведем неравенство к общему знаменателю и упростим его:

(6) (x⁴ - 2x² - 8) / (x⁴ - 2x² - 3) > 0

Разложим числитель и знаменатель на множители:

(7) (x² - 4)(x² + 2) / (x² - 4)(x² + 1) > 0

Сократим общие множители:

(8) (x² + 2) / (x² + 1) > 0

Нет критических точек, так как общий множитель (x² - 4) сокращается.

Построим таблицу знаков для множителя (x² + 2) и (x² + 1):

|x|-∞|-√2|0|√2|+∞| |-|-|-|-|-|-| |x² + 2|+|+|+|+|+| |x² + 1|+|+|+|+|+| |Неравенство|>|>|>|>|

Таким образом, решение неравенства (5) будет следующим:

(9) -∞ < x < -√2, 0 < x < √2

Итак, решение неравенств состоит из двух интервалов: (-∞, -2] ∪ [-1, 1) для неравенства (1), и (-∞, -√2) ∪ (0, √2) для неравенства (2).