Question

Решить уравнение: 2 синус в квадрате х минус 3 синус х умноженное на косинус х плюс 4 умноженное на косинус в квадрате х равно 4.

Answer 1

$\tt 2\sin^2x-3\sin x\cos x+4\cos^2x=4\\ 2\sin^2x-3\sin x\cos x+4\cos^2x=4(\cos^2x+\sin^2x)\\ 2\sin^2x-3\sin x\cos x+4\cos^2x=4\cos^2x+4\sin^2x\\ 2\sin^2x+3\sin x\cos x=0\\ \sin x(2\sin x+3\cos x)=0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю

$\tt \sin x=0~~~\Rightarrow~~~ \boxed{\tt x=\pi k,k \in \mathbb{Z}}$

$\tt 2\sin x+3\cos x=0$

Разделим левую и правую части уравнения на $\tt \cos x\ne 0$, получим:

$\tt 2tgx+3=0\\ tgx=-\frac{3}{2} ~~~\Rightarrow~~~ \boxed{\tt x=-arctg\frac{3}{2} +\pi n,n \in \mathbb{Z}}$

Answer 2

$2 {(sinx)}^{2} - 3sinxcosx + 4 {(cosx)}^{2} = 4 \\ 2 {(sinx)}^{2} - 3sinxcosx + 4 {(cosx)}^{2} = 4 {(sinx)}^{2} + 4 {(cosx)}^{2} \\ - 2 {(sinx)}^{2} - 3sinxcosx = 0 \\ - sinx(2sinx + 3cosx) = 0$

Произведение равно нулю только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл

$1) \: - sinx = 0 \\ x = \pi \: n$

n принадлежит Z

$2) \: 2sinx + 3cosx = 0$

Разделим обе части уравнения на cosx, но cosx ≠ 0

$\frac{2sinx}{cosx} + \frac{3cosx}{cosx} = 0 \\ \\ 2tgx + 3 = 0 \\ \\ tgx = - \frac{3}{2} \\ \\ x = arc \: tg( - \frac{3}{2} ) + \pi \: k \\ \\ x = - arc \: tg( \frac{3}{2} ) + \pi \: k$

k принадлежит Z

ОТВЕТ: πn ; - arctg( 3/2 ) + πk , n, k принадлежат Z

Answer 3

Давайте решим данное уравнение. У вас есть уравнение:

\[2\sin^2(x) - 3\sin(x)\cos(x) + 4\cos^2(x) = 4.\]

Мы знаем, что \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\) (тригонометрическая идентичность), и мы можем использовать это для упрощения уравнения. Подставим \(\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x)\) в исходное уравнение:

\[2(1 - \cos^2(x)) - 3\sin(x)\cos(x) + 4\cos^2(x) = 4.\]

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

\[2 - 2\cos^2(x) - 3\sin(x)\cos(x) + 4\cos^2(x) = 4.\]

Сгруппируем члены с \(\cos^2(x)\):

\[-2\cos^2(x) + 4\cos^2(x) - 3\sin(x)\cos(x) + 2 = 4.\]

Сложим члены с \(\cos^2(x)\):

\[2\cos^2(x) - 3\sin(x)\cos(x) + 2 = 4.\]

Теперь выразим \(\cos^2(x)\) через \(\sin(x)\) с использованием идентичности \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\):

\[2(1 - \sin^2(x)) - 3\sin(x)\cos(x) + 2 = 4.\]

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

\[2 - 2\sin^2(x) - 3\sin(x)\cos(x) + 2 = 4.\]

Сгруппируем члены с \(\sin^2(x)\):

\[-2\sin^2(x) - 3\sin(x)\cos(x) + 4 = 4.\]

Добавим 4 к обеим сторонам уравнения:

\[-2\sin^2(x) - 3\sin(x)\cos(x) + 8 = 0.\]

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно \(\sin(x)\). Давайте обозначим \(\sin(x)\) как \(y\) и решим уравнение:

\[ -2y^2 - 3y + 8 = 0.\]

Мы можем решить это квадратное уравнение, например, с использованием квадратного корня или метода полного квадрата. Решение этого уравнения даст нам значения \(\sin(x)\). После этого мы можем использовать эти значения, чтобы найти соответствующие значения \(\cos(x)\), так как \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\).

Если у вас есть конкретные численные значения для коэффициентов, я могу также помочь с численным решением уравнения.