Question

Найти производную. X=1+2*cos(pi/4)*t Y=3*sin(pi/4)*t

Answer 1

$1)\; \; x(t)=1+2cos(\frac{\pi }{4}\cdot t)\\\\y(t)=3sin(\frac{\pi}{4}\cdot t)\\\\y'_{x}= \frac{y'_{t}}{x'_{t}} = \frac{-2sin(\frac{\pi}{4}\cdot t)\cdot \frac{\pi}{4}}{3cos(\frac{\pi}{4}\cdot t)\cdot \frac{\pi}{4}} =-\frac{2}{3}\, tg(\frac{\pi}{4}t\cdot )=-\frac{2}{3}\, tg\frac{\pi t}{4}$

Answer 2

Для нахождения производной необходимо взять производную каждого выражения по отдельности.

Для выражения X=1+2*cos(pi/4)*t: - Производная от константы 1 равна 0. - Производная от выражения 2*cos(pi/4)*t можно найти, используя правило производной композиции функций (chain rule). Здесь внутренняя функция - t, а внешняя функция - 2*cos(pi/4)*t. Производная от внешней функции равна -sin(pi/4)*t, а производная от внутренней функции равна 1. Поэтому производная от выражения 2*cos(pi/4)*t равна -sin(pi/4)*t * 1 = -sin(pi/4)*t.

Таким образом, производная выражения X=1+2*cos(pi/4)*t равна -sin(pi/4)*t.

Аналогично, для выражения Y=3*sin(pi/4)*t: - Производная от константы 3 равна 0. - Производная от выражения 3*sin(pi/4)*t можно найти, используя правило производной композиции функций (chain rule). Здесь внутренняя функция - t, а внешняя функция - 3*sin(pi/4)*t. Производная от внешней функции равна 3*cos(pi/4)*t, а производная от внутренней функции равна 1. Поэтому производная от выражения 3*sin(pi/4)*t равна 3*cos(pi/4)*t * 1 = 3*cos(pi/4)*t.

Таким образом, производная выражения Y=3*sin(pi/4)*t равна 3*cos(pi/4)*t.

Итого, производные данных выражений равны: dX/dt = -sin(pi/4)*t dY/dt = 3*cos(pi/4)*t