Question

Докажите, что при перемножении трех тысяч двоек получается число не более, чем из 1000 цифр.

Answer 1

2³ººº = 8¹ººº < 10¹ººº, а это наименьшее число из 1001 цифры. Значит, в числе 2³ººº цифр не более 1000.

Answer 2

Давайте посмотрим, как можно представить произведение трех тысяч двоек.

\[2 \times 2 \times 2 \times \ldots \times 2\]

Здесь у нас 3000 двоек, и мы хотим найти их произведение.

\[2^{3000}\]

Теперь, чтобы оценить количество цифр в этом числе, мы можем воспользоваться логарифмическим свойством:

\[ \log_{10} 2^{3000} = 3000 \cdot \log_{10} 2 \]

Логарифм основания 10 от 2 — это примерно 0.3010. Теперь умножим это на 3000:

\[ 3000 \cdot 0.3010 \approx 903 \]

Таким образом, \(\log_{10} 2^{3000} \approx 903\), что означает, что число \(2^{3000}\) имеет примерно 903 цифры в десятичной системе счисления. Таким образом, при перемножении трех тысяч двоек получается число с менее чем 1000 цифрами.