Question

найдите все значения х, при которых выполняются неравенство f'(x)>0, если f(x)=6x^2-x^3

Answer 1

Х^2-х^3> 0; х^2 (6-х)> 0 ; х> 0 или х <6 ответ:(0; 6)

Answer 2

Чтобы найти значения \( x \), при которых выполняется неравенство \( f'(x) > 0 \), давайте начнем с нахождения производной \( f'(x) \) и найдем ее корни.

Исходная функция \( f(x) = 6x^2 - x^3 \).

1. Найдем производную \( f'(x) \): \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(6x^2 - x^3) \]

Производная будет: \[ f'(x) = 12x - 3x^2 \]

2. Теперь решим уравнение \( f'(x) = 0 \), чтобы найти точки экстремума: \[ 12x - 3x^2 = 0 \]

Факторизуем: \[ 3x(4 - x) = 0 \]

Таким образом, получаем два корня: \( x = 0 \) и \( x = 4 \).

3. Проведем анализ знаков в интервалах, образованных корнями: - \( (-\infty, 0) \) - \( (0, 4) \) - \( (4, +\infty) \)

Для этого выберем тестовую точку в каждом интервале (например, -1, 2, и 5) и проверим знак производной в этих точках.

- При \( x = -1 \): \( f'(-1) = 12(-1) - 3(-1)^2 = -12 - 3 < 0 \) - При \( x = 2 \): \( f'(2) = 12(2) - 3(2)^2 = 24 - 12 > 0 \) - При \( x = 5 \): \( f'(5) = 12(5) - 3(5)^2 = 60 - 75 < 0 \)

Итак, на основе анализа знаков производной, мы можем сделать вывод о знаке производной в каждом интервале:

- \( f'(x) > 0 \) при \( x \in (0, 4) \).

Таким образом, неравенство \( f'(x) > 0 \) выполняется для всех значений \( x \) в интервале (0, 4).