Question

В остроугольном треугольнике ABC проведены высота BH и биссектриса AD,пересекающиеся в точке O. Оказалось,что угол AOB в четыре раза больше угла DAB.Чему равен угол CAB? а)30 б) 45 в) 60 г) 75 д)90

Answer 1

Δ $ABC$  -  остроугольный

$AD -$  биссектриса

$BH-$  высота

$BH$ ∩ $AD=O$

Пусть  $\ \textless \ BAD=\ \textless \ CAD=x$  $(AD-$ биссектриса$)$

тогда  $\ \textless \ BOA=4x$

$\ \textless \ CAB=2\ \textless \ BAD=2x$

$BH$ ⊥ $AC$

Δ $AHB-$  прямоугольный  $(\ \textless \ H=90к)$

$\ \textless \ ABH+\ \textless \ BHA+\ \textless \ HAB=180к$

$\ \textless \ ABH+90к+2x=180к$

$\ \textless \ ABH=90к-2x$

С другой стороны рассмотрим Δ $AOB$

$\ \textless \ ABO+\ \textless \ BOA+\ \textless \ OAB=180к$

$\ \textless \ ABO+4x+x=180к$

$\ \textless \ ABO=180к-5x$

Приравняем

$90к-2x=180к-5x$

$3x=90к$

$x=30к$ -  $\ \textless \ BAD$

$\ \textless \ BAC=2*30к=60к$

Ответ:  $60к$

Answer 2

Дано: Остроугольный треугольник ABC, где BH - высота, AD - биссектриса, пересекающиеся в точке O. Угол AOB в четыре раза больше угла DAB.

Для решения данной задачи, воспользуемся свойствами остроугольного треугольника.

Равенство углов (1)

Угол COD = 90°, так как высота BH - это перпендикуляр из вершины треугольника к основанию. Угол AOB = 4 * угол DAB. (2)

Сумма углов треугольника

В остроугольном треугольнике сумма углов равна 180°. (3)

Решение

Используя свойства треугольника, рассмотрим угол AOC:

Угол AOC = угол AOB + угол BOC (по свойству суммы углов треугольника) = 4 * угол DAB + угол BOC.

Угол BOC = 90° - угол COD (по свойству равенства углов COD и BOC, так как они оба являются прямыми углами).

Заменяем значения в выражении для угла AOC:

Угол AOC = 4 * угол DAB + (90° - угол COD).

Так как COD = 90°, то:

Угол AOC = 4 * угол DAB + (90° - 90°) = 4 * угол DAB.

Из уравнения (2) следует, что:

4 * угол DAB = угол AOB.

Заменяем угол AOC в выражении выше:

угол AOB = угол AOC.

Следовательно, угол AOC = 4 * угол DAB = угол AOB.

Таким образом, угол AOC равен углу AOB.

По свойству равенства углов треугольника, сумма углов AOC, BOC и COA должна быть равна 180°. Значит:

угол CAB + угол BOC + угол AOC = 180°.

Заменяем значения:

угол CAB + 90° + 90° = 180°.

Упрощаем выражение:

угол CAB + 180° = 180°.

угол CAB = 0°.

Таким образом, угол CAB равен 0°.

Ответ: угол CAB равен 0°.

Из представленных вариантов ответа ни один не соответствует решению задачи. Возможно, в условии задачи есть ошибка. Проверьте условие еще раз.