Question

ИССЛЕДУЙТЕ ФУНКЦИЮ НА ЭКСТРЕМУМЫ И НАЙДИТЕ ПРОМЕЖУТКИ МОНОТОННОСТИ ФУНКЦИЯ У =(х -2)²

Answer 1

Берёшь производную
$y=(x-2)^2;\\ y'=((x-2)^2)'=2\cdot(x-2)^{2-1}\cdot(x-2)'=2(x-2)=2x-4$
приравниваем к нулю производную
y'=0;\\
2x-4=0;  x=2 точка экстремума
при х<2  y'<0 функция  убывает;
при х>2 y'>0 функция возврастает;
х=2  y'=0, минимум функции
y(2)=(2-2)^2=0;

Answer 2

Для начала, давайте исследуем функцию \(y = (x - 2)^2\) на экстремумы. Экстремумы функции могут быть точками минимума или максимума. Чтобы найти эти точки, мы можем взять производную функции и найти значения \(x\), при которых производная равна нулю.

Нахождение производной функции

Для данной функции \(y = (x - 2)^2\) найдем производную, используя правило степенной функции и правило дифференцирования сложной функции.

\[y' = 2(x - 2) \cdot \frac{d}{dx}(x - 2) = 2(x - 2) \cdot 1 = 2(x - 2)\]

Теперь, чтобы найти точки экстремума, приравняем производную к нулю и решим уравнение.

\[2(x - 2) = 0\]

Решая это уравнение, получим:

\[x - 2 = 0\] \[x = 2\]

Определение типа экстремума

Мы нашли, что \(x = 2\) является точкой экстремума. Чтобы определить, является ли это точка минимума или максимума, нам нужно проанализировать знак производной в окрестности этой точки.

Для этого, возьмем производную функции \(y' = 2(x - 2)\) и рассмотрим знак производной в интервалах до и после точки \(x = 2\).

- При \(x < 2\), \(y' < 0\) (отрицательное значение производной). - При \(x > 2\), \(y' > 0\) (положительное значение производной).

Монотонность функции

Теперь, определим промежутки монотонности функции \(y = (x - 2)^2\) на основе знака производной.

- Функция монотонно возрастает в интервале \((2, +\infty)\), так как производная положительна для всех \(x > 2\). - Функция монотонно убывает в интервале \((-\infty, 2)\), так как производная отрицательна для всех \(x < 2\).

График функции

Теперь, давайте построим график функции \(y = (x - 2)^2\) для лучшего понимания.

```python import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(-5, 5, 100) y = (x -