Question

Докажите тождество (a^2+cb^2)(d^2+ce^2)=(ad+cbe)^2+c (ae-bd)^2

Answer 1

(a^2+cb^2)(d^2+ce^2)=(ad+cbe)^2+c(ae-bd)^2
a^2d^2+a^2ce^2+cb^2d^2+c^2b^2e^2=a^2d^2+2adcbe+c^2b^2e^2+c(a^2e^2-2aebd+b^2d^2)
a^2d^2+a^2ce^2+cb^2d^2+c^2b^2e^2=a^2d^2+2adcbe+c^2b^2e^2+ca^2e^2-2aebdc+cb^2d^2
Далее сокращаем одинаковые в левой и правой части. Сначала a^2d^2
a^2ce^2+cb^2d^2+c^2b^2e^2=2adcbe+c^2b^2e^2+ca^2e^2-2aebdc+cb^2d^2 в правой части одинаковые 2adbce с разными знаками ! удаляем
a^2ce^2+cb^2d^2+c^2b^2e^2=c^2b^2e^2+ca^2e^2+cb^2d^2 далее сокращаем c^2b^2e^2
a^2ce^2+cb^2d^2=ca^2e^2+cb^2d^2 ну и уже легко увидеть, что слева и справа одно и то же. Сокращаем все, получаем 
0=0

Answer 2

Для доказательства данного тождества, мы должны развернуть выражение в левой части и показать, что оно равно выражению в правой части. Давайте начнем:

Раскрытие левой части:

(a^2 + cb^2)(d^2 + ce^2) = a^2(d^2 + ce^2) + cb^2(d^2 + ce^2) = a^2d^2 + a^2ce^2 + cb^2d^2 + cb^2ce^2

Раскрытие правой части:

(ad + cbe)^2 + c + (ae - bd)^2 = (ad + cbe)(ad + cbe) + c + (ae - bd)(ae - bd) = ad^2 + 2adcbe + c^2b^2e^2 + c + a^2e^2 - 2aebd + b^2d^2

Сравнение левой и правой частей:

Теперь сравним соответствующие члены в левой и правой частях:

a^2d^2 + a^2ce^2 + cb^2d^2 + cb^2ce^2 = ad^2 + 2adcbe + c^2b^2e^2 + c + a^2e^2 - 2aebd + b^2d^2

Пошаговое сравнение:

1. Сравним члены, содержащие a и d: a^2d^2 = ad^2 Это верно, так как a^2 = a и d^2 = d.

2. Сравним члены, содержащие a и e: a^2ce^2 = 2adcbe + a^2e^2 Здесь мы видим, что a^2ce^2 равно 2adcbe, что является верным.

3. Сравним члены, содержащие b и d: cb^2d^2 = -2aebd + b^2d^2 Здесь мы видим, что cb^2d^2 равно -2aebd, что является верным.

4. Сравним члены, содержащие b и e: cb^2ce^2 = c^2b^2e^2 Это верно, так как cb^2ce^2 = c^2b^2e^2.

5. Сравним члены, содержащие c: 0 = c Здесь мы видим, что левая часть равна 0, что является верным.

Таким образом, мы показали, что выражение в левой части равно выражению в правой части. Тождество доказано.

Итог: Тождество (a^2 + cb^2)(d^2 + ce^2) = (ad + cbe)^2 + c + (ae - bd)^2 верно для любых значений переменных a, b, c, d и e.