Question

Найти производные функции для: f(x)=∛((4+3x)^2 ).

Answer 1

квадрат и кубический корень можно заменить на степень 2/3
получится (4+3х)^2/3
вычисляем как производную степенной функции
получаем 2/3*(4+3х)^-1/3
так как аргумент сложный, то домножаем на производную аргумента
получаем 2*(4+3х)^-1/3 
или 2/кубический корень из (4+3х)

 

 

Answer 2

Конечно, я могу помочь найти производную функции \( f(x) = \sqrt[3]{(4 + 3x)^2} \). Давай начнем с поиска производной этой функции по методу дифференцирования.

Используем свойство производной композиции функций (цепное правило) и правило дифференцирования функции вида \( u^n \), где \( u \) - функция от \( x \), \( n \) - степень:

\[ f(x) = \sqrt[3]{(4 + 3x)^2} = ((4 + 3x)^2)^{\frac{1}{3}} \]

Теперь продифференцируем это выражение. Обозначим \( u = (4 + 3x)^2 \), тогда \( f(x) = u^{\frac{1}{3}} \). Применяем правило дифференцирования степенной функции:

\[ \frac{df}{dx} = \frac{d}{du} \left(u^{\frac{1}{3}}\right) \cdot \frac{du}{dx} \]

1. Найдем \( \frac{d}{du} \left(u^{\frac{1}{3}}\right) \):

Производная \( u^{\frac{1}{3}} \) по переменной \( u \) равна \( \frac{1}{3} u^{-\frac{2}{3}} \).

2. Теперь найдем \( \frac{du}{dx} \):

\[ u = (4 + 3x)^2 \] \[ \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} (4 + 3x)^2 \]

Применим правило дифференцирования сложной функции \( (g(x))^n \):

\[ \frac{d}{dx} (4 + 3x)^2 = 2 \cdot (4 + 3x) \cdot \frac{d}{dx} (4 + 3x) = 2 \cdot (4 + 3x) \cdot 3 = 6 \cdot (4 + 3x) \]

Теперь у нас есть обе части выражения, и мы можем их объединить:

\[ \frac{df}{dx} = \frac{1}{3} u^{-\frac{2}{3}} \cdot 6 \cdot (4 + 3x) = 2(4 + 3x) \cdot \frac{1}{3(u^{\frac{2}{3}})} \]

Подставим обратно выражение для \( u \):

\[ \frac{df}{dx} = 2(4 + 3x) \cdot \frac{1}{3((4 + 3x)^2)^{\frac{2}{3}}} \]

Таким образом, производная функции \( f(x) = \sqrt[3]{(4 + 3x)^2} \) равна \( \frac{2(4 + 3x)}{3((4 + 3x)^2)^{\frac{2}{3}}} \).