Question

Используя методы дифференциального исчисления, провести исследование функции и построить график y=x^3+x^2-16x-16

Answer 1

1) Точки пересечения с осями.
 - с осью Оу: х = 0, у =0^3+0^2-16*0-16 = -16, точка (0; -16).
 - с осью Ох: у = 0.
   x^3+x^2-16x-16 = 0.
   Преобразуем заданное уравнение: 
   у =x^3+x^2-16x-16 = х²(х+1)-16(х+1) = (х²-16)(х+1) = (х-4)(х+4)(х+1).
   у = 0,  (х-4)(х+4)(х+1) = 0.
   Отсюда получаем 3 корня уравнения: х₁ = 4, х = -4, х = -1.

2) Для того, чтобы найти экстремумы, нужно найти производную и  приравнять её нулю и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
y' = 3x² + 2 x - 16 = 0.

Квадратное уравнение, решаем относительно x: 

Ищем дискриминант:

D=2^2-4*3*(-16)=4-4*3*(-16)=4-12*(-16)=4-(-12*16)=4-(-192)=4+192=196;

Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:

x₁=(√196-2)/(2*3)=(14-2)/(2*3)=12/(2*3)=12/6=2;  

x₂=(-√196-2)/(2*3)=(-14-2)/(2*3)=-16/(2*3)=-16/6=-(8/3) ≈ -2,6667.

Значит, экстремумы в точках:
((-8/3); (400/27)),
(2, -36).

3) Определяем минимумы и максимумы функции и промежутки знакопостоянства.
Для этого находим значения производной вблизи критических точек.
х =    -3    -2.667    -2      1      2      3 
у' =    5        0        -8     -11    0     17.

Где производная меняет знак с + на - там максимум функции ((х=(-8/3); у= (400/27)), а где меняет знак с - на + там минимум функции (х=2; у=-36)).

Функция возрастает на промежутках -∞ < x < (-8/3) и 2 < x < +∞,

а убывает на промежутке (-8/3) < x < 2.

4) Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение

y'' = 0 (вторая производная равняется нулю), корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции,
y'' = 6x+2 = 2(3x+1) = 0.
3 x + 1 = 0.
Отсюда х = (-1/3).

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов.
Если на интервале вторая производная больше 0 , то функция имеет вогнутость на этом интервале, если вторая производная меньше 0, то функция имеет выпуклость.
x =    -2    -1    -0.33333     0       1
y'' = -10    -4         0           2       8
Вогнутая на промежутках [-1/3, oo),
Выпуклая на промежутках (-oo, -1/3].

 

Answer 2

Для начала проведем исследование функции y = x^3 + x^2 - 16x - 16 с использованием методов дифференциального исчисления.

1. Найдем производную функции y по переменной x: y' = 3x^2 + 2x - 16

2. Найдем точки, в которых производная равна нулю: 3x^2 + 2x - 16 = 0

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: D = (2^2) - 4 * 3 * (-16) = 4 + 192 = 196

Найдем корни уравнения: x1 = (-2 + sqrt(196)) / (2 * 3) = (2 + 14) / 6 = 16 / 6 = 8/3 x2 = (-2 - sqrt(196)) / (2 * 3) = (2 - 14) / 6 = -12 / 6 = -2

Таким образом, у нас есть две точки, в которых производная равна нулю: x1 = 8/3 и x2 = -2.

3. Найдем вторую производную функции y: y'' = 6x + 2

4. Определим характер поведения функции в окрестности найденных точек: - В точке x1 = 8/3 производная меняет знак с плюса на минус, что означает, что функция имеет локальный максимум в этой точке. - В точке x2 = -2 производная меняет знак с минуса на плюс, что означает, что функция имеет локальный минимум в этой точке.

5. Найдем значения функции y в найденных точках: y(8/3) = (8/3)^3 + (8/3)^2 - 16 * (8/3) - 16 = 512/27 + 64/9 - 128/3 - 16 = -304/27 y(-2) = (-2)^3 + (-2)^2 - 16 * (-2) - 16 = -8 + 4 + 32 - 16 = 12

Теперь построим график функции y = x^3 + x^2 - 16x - 16, используя полученные результаты:

- График функции будет проходить через точки (8/3, -304/27) и (-2, 12). - В точке x1 = 8/3 будет локальный максимум, а в точке x2 = -2 будет локальный минимум.

С учетом этих данных, можно нарисовать график функции.