Question

найдите общий вид первообразной для функций f(x)=(1/2корень из x+1 ) + 1/x

Answer 1

F'(x)=коріньх+1-1/х^

Answer 2

Для того чтобы найти общий вид первообразной для функций f(x) = (1/2√(x+1)) + 1/x, мы должны проинтегрировать каждый из слагаемых по отдельности. Давайте начнем с первого слагаемого.

Интегрирование первого слагаемого

Первое слагаемое функции f(x) -- это (1/2√(x+1)). Чтобы найти первообразную для этого слагаемого, мы можем использовать замену переменной.

Пусть u = x + 1, тогда du = dx.

Теперь мы можем выразить √(x+1) в терминах переменной u: √(x+1) = √u.

Таким образом, первое слагаемое можно переписать в виде (1/2√(x+1)) = (1/2√u) = (1/2u^(1/2)).

Теперь мы можем проинтегрировать это выражение: ∫(1/2u^(1/2)) du.

Интегрируя это выражение, получаем: (1/2) * 2u^(1/2) = u^(1/2) = √u.

Теперь мы должны вернуться к исходной переменной x и подставить обратную замену u = x + 1.

Таким образом, первое слагаемое имеет первообразную √(x+1).

Интегрирование второго слагаемого

Второе слагаемое функции f(x) -- это 1/x. Чтобы найти первообразную для этого слагаемого, мы можем использовать свойство логарифма.

Интеграл ∫(1/x) dx = ln|x| + C, где C - произвольная постоянная.

Общий вид первообразной

Таким образом, общий вид первообразной для функции f(x) = (1/2√(x+1)) + 1/x будет выглядеть следующим образом:

∫[(1/2√(x+1)) + 1/x] dx = √(x+1) + ln|x| + C,

где C - произвольная постоянная.