Question

Не могу вычислит сама, поэтому желательно с подробным решением. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=2,5x^2+1, касательной к этому графику в точке с абсциссой x=-2 и прямой x=0

Answer 1

С начала нужно составить уравнение касательной по формуле
$y=f(x_0)+ f'(x_0)(x-x_0)$

$y'=(2,5x^2+1)' = 5x$

$y'(-2)= 5(-2) = -10$

$y (-2) = 2,5(-2)^2+1 = 11$

Тогда

$y=11 -10(x+2) = -10x-9$

Теперь есть три графика

$y=2,5x^2+1 \\ y= -10x-9 \\ x=0$

Построим графики (см. рисунок ниже)

Из графика пределы интегрирования по х от -2 до 0. (можно вычислить аналитически)

Площадь фигуры будет равна разности определенных интегралов 

$S = \int\limits^0_{-2} ({2,5x^2+1}) \, dx - \int\limits^0_{-2} ({-10x-9}) \, dx =$

$= \frac{2,5}{3} x^3|_{-2}^0+x|_{-2}^0 + 5x^2|_{-2}^0+9x|_{-2}^0 =$

$= \frac{20}{3} + 2 -20 + 18 = \frac{20}{3} = 6\frac{2}{3}$ кв.ед

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной графиком функции y = 2.5x^2 + 1, касательной к этому графику в точке с абсциссой x = -2 и прямой x = 0, мы можем использовать метод определенного интеграла.

График функции

Давайте начнем с построения графика функции y = 2.5x^2 + 1. Для этого нам необходимо найти несколько точек на графике и соединить их.

Вычислим значения функции для нескольких значений x. Подставим различные значения x в функцию и найдем соответствующие значения y:

- При x = -2: y = 2.5(-2)^2 + 1 = 2.5(4) + 1 = 10 + 1 = 11 - При x = -1: y = 2.5(-1)^2 + 1 = 2.5(1) + 1 = 2.5 + 1 = 3.5 - При x = 0: y = 2.5(0)^2 + 1 = 0 + 1 = 1 - При x = 1: y = 2.5(1)^2 + 1 = 2.5(1) + 1 = 2.5 + 1 = 3.5 - При x = 2: y = 2.5(2)^2 + 1 = 2.5(4) + 1 = 10 + 1 = 11

Теперь мы можем построить график, соединив эти точки:

   ^
   |
 11|              *
   |             *
 10|    *       *
   |   *      *
  9|  *     *
   | *    *
  8|*   *
   |*  *
  7| *
   |*
  6|_______________________
    -2 -1  0  1  2

Касательная к графику в точке (-2, 11)

Для нахождения касательной к графику в точке (-2, 11) мы можем использовать производную функции y = 2.5x^2 + 1. Производная функции показывает наклон касательной в каждой точке графика.

Вычислим производную функции y = 2.5x^2 + 1:

y' = 5x

Теперь мы можем найти значение производной в точке (-2, 11):

y'(-2) = 5(-2) = -10

Это означает, что наклон касательной к графику в точке (-2, 11) равен -10.

Площадь фигуры между графиком и прямыми

Теперь, чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = 2.5x^2 + 1, касательной к этому графику в точке (-2, 11) и прямой x = 0, мы можем использовать определенный интеграл.

Для начала найдем точку пересечения касательной с прямой x = 0. Подставим x = 0 в уравнение касательной:

y = -10x + c

Поскольку касательная проходит через точку (-2, 11), мы можем использовать это уравнение для определения значения константы c:

11 = -10(-2) + c 11 = 20 + c c = -9

Теперь у нас есть уравнение касательной: y = -10x - 9.

Для вычисления площади фигуры, ограниченной графиком функции, касательной и прямой, мы должны найти значения x для точек пересечения графика функции и касательной.

Подставим уравнение касательной и уравнение функции вместе и решим уравнение:

2.5x^2 + 1 = -10x - 9

Перенесем все члены на одну сторону и решим уравнение:

2.5x^2 + 10x + 10 = 0

Мы можем решить это квадратное уравнение, используя метод дискриминанта:

D = b^2 - 4ac D = 10^2 - 4(2.5)(10) D = 100 - 100 D = 0

Поскольку дискриминант равен нулю, уравнение имеет один корень:

x = -b / 2a x = -10 / 2(2.5) x = -10 / 5 x = -2

Таким образом, у нас есть одна точка пересечения графика функции и касательной: (-2, 11).

Вычисление площади

Теперь мы можем вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком функции, касательной и прямой, с помощью определенного интеграла.

Площадь фигуры можно вычислить следующим образом:

Площадь = ∫[a, b] (f(x) - g(x)) dx

где f(x) - верхняя функция (график функции), g(x) - нижняя функция (касательная или прямая), a и b - точки пересечения графика функции и касательной.

В нашем случае, точки пересечения графика функции и касательной: a = -2 и b = 0.

Используя эти значения, наша площадь будет:

Площадь = ∫[-2, 0] (2.5x^2 + 1 - (-10x - 9)) dx

Выполняя вычисления:

Площадь = ∫[-2, 0] (2.5x^2 + 10x + 10) dx

Площадь = [0.8333x^3 + 5x^2 + 10x] [-2, 0]

Площадь = (0.8333(0)^3 + 5(0)^2 + 10(0)) - (0.8333(-2)^3 + 5(-2)^2 + 10(-2))

Площадь = 0 - (-11.6667)

Площадь = 11.6667

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = 2.5x^2 + 1, касательной к этому графику в точке (-2, 11) и прямой x = 0, равна 11.6667.