Question

Промежутки возрастания функции f(x)=3x^2-6x-9

Answer 1

$f(x)=3x^2-6x-9\\ f'(x)=6x-6\\ 6x-6\ \textgreater \ 0\\ 6x\ \textgreater \ 6\\ x\ \textgreater \ 1\\ x\in(1;\infty)$
На промежутке от 1 до бесконечности функция возрастает

Answer 2

Конечно, я помогу разобраться! Для нахождения промежутков возрастания функции \( f(x) = 3x^2 - 6x - 9 \) можно воспользоваться производной функции.

Шаги:

1. Найдем производную функции \( f(x) \): \[ f'(x) = \frac{d}{dx} (3x^2 - 6x - 9) \]

Производная функции вычисляется путем применения правил дифференцирования. Для данной функции \( f(x) \) производная будет равна: \[ f'(x) = 6x - 6 \]

2. Найдем точки экстремума. Чтобы найти экстремумы (минимумы и максимумы), приравняем производную к нулю и найдем значения \( x \): \[ 6x - 6 = 0 \] \[ 6x = 6 \] \[ x = 1 \]

Теперь, когда у нас есть точка \( x = 1 \), мы можем использовать вторую производную, чтобы определить характер экстремума (минимум или максимум). Для этого возьмем вторую производную функции \( f(x) \):

\[ f''(x) = \frac{d^2}{dx^2} (3x^2 - 6x - 9) \]

Вычислим:

\[ f''(x) = 6 \]

Поскольку вторая производная положительна (\( f''(x) = 6 > 0 \)) для \( x = 1 \), это означает, что точка является локальным минимумом функции \( f(x) \) при \( x = 1 \).

3. Определим промежутки возрастания. Теперь, когда у нас есть информация о точке экстремума, мы можем определить интервалы возрастания функции. Так как у нас есть только одна точка экстремума (минимума), это означает, что функция будет возрастать на интервалах вне этой точки.

Итак, промежутки возрастания функции \( f(x) = 3x^2 - 6x - 9 \) будут между минус бесконечностью и точкой минимума \( x = 1 \) и между точкой минимума \( x = 1 \) и плюс бесконечностью.

Таким образом, функция \( f(x) \) будет возрастать на интервалах \((- \infty, 1)\) и \((1, +\infty)\).