Question

Исследовать на выпуклость и вогнутость y=x^4-4x^3-18x^2+x-3

Answer 1

Берем 1 и 2 производные:
y'=4x^3-4(3x^2)-18(2x)+1=4x^3-12x^2-36x+1;
y''=4(3x^2)-12(2x)-36=12x^2-24x-36;
ищем выпкулость/вогнутость:
12x^2-24x-36=0;
x^2-2x-3=0;
D=16; x1=3; x2=-1;
теперь методом интервалов ищем:
выпукла: [-1;3]
вогнута: (-беск;-1] и [3;+беск)

Answer 2

Для исследования функции $y=x^4-4x^3-18x^2+x-3$ на выпуклость и вогнутость, необходимо найти ее вторую производную и исследовать ее знак. Найдем вторую производную:

$$y'=4x^3-12x^2-36x+1$$ $$y''=12x^2-24x-36$$

Чтобы найти точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует, решим уравнение $y''=0$:

$$12x^2-24x-36=0$$ $$x^2-2x-3=0$$ $$(x-3)(x+1)=0$$ $$x=3 \quad \text{или} \quad x=-1$$

Исследуем знак второй производной слева и справа от найденных точек:

$$y''(-2)=12(-2)^2-24(-2)-36=96>0 \quad \Rightarrow \quad \text{вогнутость вверх}$$ $$y''(0)=12(0)^2-24(0)-36=-36<0 \quad \Rightarrow \quad \text{выпуклость вниз}$$ $$y''(4)=12(4)^2-24(4)-36=96>0 \quad \Rightarrow \quad \text{вогнутость вверх}$$

Следовательно, функция имеет точки перегиба в точках $x=3$ и $x=-1$, а также интервалы выпуклости и вогнутости:

$$(-\infty;-1) \quad \text{вогнутость вверх}$$ $$(-1;3) \quad \text{выпуклость вниз}$$ $$(3;+\infty) \quad \text{вогнутость вверх}$$

Для наглядности, можно построить график функции с помощью онлайн-сервиса, например, [этого](https://www.webmath.ru/poleznoe/formules_8_24.php).