Question

Помогите решить логарифмические неравенства 1) 2)

Answer 1

1) Область определения $-log_{3}x\ \textgreater \ 0, log_{3}x\ \textless \ 0, x\ \textless \ 1, x\ \textgreater \ 0, 0\ \textless \ x\ \textless \ 1$
Обозначим: $- log_{3} x=q,$
тогда $Log_{0,5}^2(q) - Log_{0,5}( q^{2} ) \leq 3, Log_{2^{-1}}^2(q) - Log_{2^{-1}}( q^{2} ) \leq 3,$
$(-Log_{2}(q))^{2} +Log_{2}( q^{2} ) \leq 3, (Log_{2}(q))^{2} +2Log_{2}( q) \leq 3,$
$(Log_{2}(q))^{2} +2Log_{2}( q) -3 \leq 0, (Log_2(q) +3)(Log_2(q)-1) \leq 0,$
рисуем интервалы
-∞___+____-3___-___1___+___+∞
$-3 \leq Log_{2}(q) \leq 1,$
1. $Log_{2}q \geq -3, q \geq 2^{-3} , q \geq \frac{1}{8}$
    $- log_{3} x \geq \frac{1}{8} ,log_{3} x \leq - \frac{1}{8} ,x \leq 3^{- \frac{1}{8} }$
2. $log_2{q} \leq 1, q \leq 2$
    $- log_{3}x \leq 2, log_{3}x \geq -2,x \geq 3^{-2}, x \geq \frac{1}{9}$ 
Ответ:  
$\frac{1}{9} \leq x \leq 3^{- \frac{1}{8}$

2) $Log_{|x-1|}(x-2)^2 \leq 2,$
Область определения: 
$|x-1| \neq 0, |x-1| \neq 1, (x-2) \neq 0, x \neq 0, x \neq 1, x \neq 2$
получаем область определения: x∈(-∞;0)∪(0;1)∪(1;2)∪(2;+∞)
1. 0<|x-1|<1, x∈(0;1)∪(1;2) основание логарифма меньше 1,
$Log_{|x-1|}(x-2)^{2}\leq 2, Log_{|x-1|}(x-2)^{2} \leq Log_{|x-1|}(x-1)^{2},$
$(x-2)^{2} \geq (x-1)^{2}$
$x^2-4x+4 \qeq x^2-2x+1, 2x-3 \leq 0, x \leq 3/2$,
Учитывая условие x∈(0;1)∪(1;2), получаем : x∈(0;1)∪(1;3/2].
2. 1<|x-1|, x∈(-∞;0)∪(2;+∞), основание логарифма больше 1,
$Log_{|x-1|}(x-2)^{2}\leq 2,log_{|x-1|}(x-2)^{2} \leq log_{|x-1|}(x-1)^{2},$
$(x-2)^{2}\leq (x-1)^{2}$
$x^2-4x+4 \leq x^2-2x+1,2x-3 \geq 0, 2x \geq 3, x \geq 3/2 ,$ 
Учитывая условие x∈(-∞;0)∪(2;+∞) , получаем: x∈(2;+∞).
ответ: x∈(0;1)∪(1;3/2]∪(2;+∞)

Answer 2

Конечно, я готов помочь вам с решением логарифмических неравенств. Давайте начнем с первого неравенства.

1) \( \log_2(x-3) > 4 \)

Чтобы решить это неравенство, давайте применим основные свойства логарифмов. Сначала выразим его в экспоненциальной форме:

\[ 2^4 < x - 3 \]

\[ 16 < x - 3 \]

Теперь добавим 3 к обеим сторонам:

\[ 19 < x \]

Таким образом, решение первого неравенства - \( x > 19 \).

Теперь перейдем ко второму неравенству.

2) \( \log_5(2x+1) \leq 3 \)

Аналогично, выразим в экспоненциальной форме:

\[ 5^3 \geq 2x + 1 \]

\[ 125 \geq 2x + 1 \]

Вычитаем 1 из обеих сторон:

\[ 124 \geq 2x \]

Делим обе стороны на 2:

\[ 62 \geq x \]

Таким образом, решение второго неравенства - \( x \leq 62 \).

Таким образом, с учетом обоих неравенств, решение системы будет \( x \leq 62 \) и \( x > 19 \). Вместе это можно записать как \( 19 < x \leq 62 \).