Question

Найти первообразную функции f(x)=(x^2-5x+6)/(sqrt(x+4)) Подробно, прошу

Answer 1

Замена sqrt(x+4)=t; x+4=t^2; x=t^2-4; dx=2tdt
∫((t^2-4)^2-5(t^2-4)+6)2tdt/t=2∫(t^4-8t^2+16-5t^2+20+6)dt=
=2∫(t^4-13t^2+42)dt=2t^5/5-13t^3/3+42t+c=
=2sqrt(x+4)^5/5-13sqrt(x+4)^3/3+42sqrt(x+4)

Answer 2

Давайте найдем первообразную для функции \(f(x) = \frac{x^2 - 5x + 6}{\sqrt{x + 4}}\). Для этого мы будем использовать метод интегрирования.

1. Разложим числитель дроби на множители: \[f(x) = \frac{(x-2)(x-3)}{\sqrt{x+4}}.\]

2. Теперь выразим корень в знаменателе в виде степени: \[f(x) = (x-2)(x-3)(x+4)^{-1/2}.\]

3. Теперь применим правило степенной функции для интегрирования: \[\int (x-2)(x-3)(x+4)^{-1/2} \,dx.\]

4. Для интегрирования произведения функций используем метод интегрирования по частям, где \[u = (x-2)(x-3) \quad \text{и} \quad dv = (x+4)^{-1/2} \,dx.\]

Тогда \[du = [(x-3) + (x-2)] \,dx = 2x - 5 \,dx\] \[v = 2(x+4)^{1/2}.\]

5. Подставим результаты в формулу интегрирования по частям: \[\int (x-2)(x-3)(x+4)^{-1/2} \,dx = uv - \int v \,du.\]

\[= (x-2)(x-3) \cdot 2(x+4)^{1/2} - \int 2(x+4)^{1/2} \cdot (2x-5) \,dx.\]

6. Выполним интегрирование второго слагаемого. Для этого сделаем замену переменной, где \(t = x+4\), тогда \(dt = dx\): \[\int 2(x+4)^{1/2} \cdot (2x-5) \,dx = \int 2t^{1/2} \cdot (2(t-4)-5) \,dt.\]

Упростим выражение: \[= \int (4t^{1/2} - 8t^{1/2} - 5t^{1/2} + 20) \,dt.\]

Теперь произведем интегрирование: \[= \frac{8}{2/3}t^{3/2} - \frac{8}{2}t^{3/2} - \frac{5}{2/3}t^{3/2} + 20t + C,\] где \(C\) - константа интегрирования.

7. Подставим обратно переменные: \[= \frac{24}{3}t^{3/2} - 4t^{3/2} - \frac{15}{6}t^{3/2} + 20t + C.\]

8. Теперь вернемся к исходной переменной: \[= 8(x+4)^{3/2} - 4(x+4)^{3/2} - \frac{15}{2}(x+4)^{3/2} + 20(x+4) + C.\]

Таким образом, первообразная функции \(f(x) = \frac{x^2 - 5x + 6}{\sqrt{x + 4}}\) равна: \[F(x) = (x-2)(x-3) \cdot 2(x+4)^{1/2} - \left[8(x+4)^{3/2} - 4(x+4)^{3/2} - \frac{15}{2}(x+4)^{3/2} + 20(x+4)\right] + C,\] где \(C\) - константа интегрирования.